- Sist oppdatert
- Lagre som PDF
- Side-ID
- 19031
- Elias lov
- University of WindsorviaThe Trilla Group (støtte fra Saylor Foundation)
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}\) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\ norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}\)
En delmengde \(A\) av et ordnet felt \(F\) sies å væreavgrenset nedenfor(ellervenstre avgrenset) hvis det er \(p \i F\) slik at
\[(\forall x \in A) \quad p \leq x\]
\(A\) eravgrenset ovenfor(ellerhøyre avgrenset) hvis det er \(q \i F\) slik at
\[(\forall x \in A) \quad x \leq q\]
I dette tilfellet kalles \(p\) og \(q\) henholdsvis aNedre(ellervenstre) bundet og enøverste(ellerIkke sant) bundet, av \(A .\) Ifbådeeksisterer, sier vi ganske enkelt at \(A\) eravgrenset(av \(p\) og \(q ) .\) Det tomme settet \(\emptyset\) anses som ("vakuously") avgrenset avnoenp og \(q\) (jf. slutten av kapittel \(1, §3 )\).
Grensene \(p\) og \(q\) kan, mentrenger ikke, tilhører \(A .\) Hvis en venstregrense \(p\) er seg selv i \(A,\) kaller vi denminste elementellerminimumav \(A,\) angitt min \(A\). På samme måte, hvis \(A\)inneholderen øvre grense \(q,\) vi skriver \(q=\max A\) og kaller \(q\)største elementellermaksimumav \(A .\) Imidlertid kan \(A\) ikke ha noe minimum eller
maksimum.
Merknad 1.En endelig mengde \(A \neq \emptyset\) har alltid et minimum og et maksimum (se Oppgave 9 i §§ 5-6 )\).
Notat 2.Et sett \(A\) kan ha maksimalt ett maksimum og maksimalt ett minimum. For hvis den hadde \(t w o\) maxima \(q, q^{\prime},\) så
\[q \leq q^{\prime}\]
(siden \(q \i A\) og \(q^{\prime}\) er en høyregrense); på samme måte
\[q^{\prime} \leq q;\]
så \(q=q^{\prime}\) tross alt. Unikheten til \(\min A\) bevises på samme måte.
Merknad 3.Hvis \(A\) harennedre grense \(p,\) den harmange(f.eks. ta en hvilken som helst \(p^{\prime}
Tilsvarende, hvis \(A\) harenøvre grense \(q,\) den harmange(ta en hvilken som helst \(q^{\prime}>q )\).
Geometrisk, på den reelle aksen, ligger alle nedre (øvre) grenser til venstre (høyre) for \(A ;\) se figur \(1 .\)
Eksempler
(1) La
\[A=\{1,-2,7\}.\]
Da er \(A\) avgrenset over \((\) f.eks. \(,\) av \(7,8,10, \prikker)\) og under \((\) f.eks. \(,\) av \( -2,-5,-12, \prikker )\).
Vi har \(\min A=-2, \maks A=7\).
(2) Settet \(N\) av alle naturlige stoffer er avgrenset nedenfor (f.eks. av \(1,0, \frac{1}{2},-1, \ldots\)) og \(1=\min N;\) N har ikke noe maksimum, for hver \(q \i N\) eroverskredetav noen \(n \i N\) (f.eks. \(, n=q+1\)).
(3) Gitt \(a, b \i F(a \leq b),\) definerer vi i \(F\)åpent intervall
\[(a, b)=\{x | a delukket intervall \[[a, b]=\{x | a \leq x \leq b\};\] dehalvåpent intervall \[(a, b]=\{x | a oghalvt lukket intervall \[[a, b)=\{x | a \leq x Det er klart at hvert av disse intervallene er avgrenset av endepunktene a og \(b ;\) dessuten, \(a \in[a, b]\) og \(a \in[a, b)\) (sistnevnte gitt \([a, b) \neq \emptyset,\) dvs. \(a<\) \(b ),\) og \(a=\min [a, b]=\min [a, b) ; \) på samme måte, \(b=\maks [a, b]=\maks (a, b]\). Men \([a, b)\) har ikke noe maksimum, \((a, b]\) har ingen minimum, og \((a, b)\) har ingen av delene. (Hvorfor?)
Geometrisk virker det plausibelt at det blant alle venstre og høyre grenser for \(A\) (hvis noen) er noen "nærmeste" til \(A,\) som \(u\) og \(v\) i figuren \(1,\) dvs. enminst øvre grense\(v\) og enstørste nedre grense\(u .\) Disse er forkortet
\[\operatørnavn{lub} A \text{ og } \mathrm{glb} A\]
og kalles ogsåden sisteogden lavesteav henholdsvis \(A,\); kort,
\[v=\sup A, u=\inf A\]
Denne påstanden, selv om den er gyldig i \(E^{1},\), klarer ikke å materialisere seg i mange andre felt, slik som feltet \(R\) for alle rasjonaler (jf. \( §§11-12 ) .\ ) Selv for \(E^{1},\) kan det ikke være detbevistfra aksiomer 1 til 9.
På den annen side er denne egenskapen av største betydning for matematisk analyse; så vi introduserer det som enaksiom(for \(E^{1} ),\) kaltfullstendighetsaksiom. Det er praktisk først å gi en generell definisjon.
Definisjon
Et ordnet felt \(F\) sies å værefullstendighvis hver ikke-void høyreavgrenset delmengde \(A \delmengde F\) har et supremum \((\) dvs. en lub) i \(F\).
Merk at vi bruker begrepet "fullstendig" kun forbestiltEnger.
Med denne definisjonen kan vi gi det tiende og siste aksiomet for \(E^{1}\).
Fullstendighetsaksiomet
Definisjon
Det virkelige feltet \(E^{1}\) er fullstendig i forstanden ovenfor. Det vil si at hvert høyreavgrenset sett \(A \delsett E^{1}\) har en supremum \((\operatørnavn{sup} A ) \tekst { i } E ^ { 1 }\), forutsatt \(A \neq \emptyset\).
Den tilsvarende påstanden forden lavestekan nå bevises som et teorem.
Teorem \(\PageIndex{1}\)
I et komplett felt\(F\) (for eksempel \(E^{1}\)),hvert ikke-void venstreavgrenset delsett \(A \delsett F\) har et infimum \((i . e .,\)a glb\()\).
- Bevis
-
La \(B\) være det (ikke tomme) settet av alle nedre grenser for \(A\) (slike grensereksisteresiden \(A\) er venstrebegrenset \() .\) Da er det klart at ingen medlem av \(B\) overskrider et medlem av \(A,\) og derfor \(B\)er rett avgrensetav et element av \(A .\) Derfor, ved den antatte fullstendigheten av \(F, B\)disse fra sist inn\(F,\) kall det \(p .\)
Vi skal vise at \(p\) også er det nødvendige infimumet til \(A,\) og dermed fullføre beviset.
Det har vi faktisk
(i) \(p\)er en nedre grense av\(A .\) For per definisjon er \(p\) denminstøvre grense av \(B .\) Men, som vist ovenfor, er hver \(x \i A\) en øvre grense for \(B .\) Dermed
\[(\forall x \in A) \quad p \leq x\]
(ii) \(p\)er den største nedre grensen av\(A .\) For \(p=\sup B\) overskrides ikke av noe medlem av \(B .\) Men per definisjon inneholder \(B\)allenedre grenser for \(A ;\) slik at \(p\) ikke overskrides av noen av dem, dvs.
\[p=\mathrm{g} 1 \mathrm{b} A=\mathrm{inf} A\]
Merknad 4.Lub og glb til \(A\) (hvis de finnes) erunik. For inf \(A\) er per definisjon maksimumet av settet \(B\) av alle nedre grenser for \(A,\) og dermed unikt, ved merknad \(2 ;\) på samme måte for unikheten til sup \(A .\)
Merknad 5.I motsetning til min \(A\) og maks \(A,\) er glb og lub til \(A\)trenger ikketilhører A. For eksempel, hvis \(A\) er intervallet \((a, b)\) i \(E^{1}(a
\[a=\inf A \text{ og } b=\sup A\]
selv om \(a, b \notin A .\)Dermedsup \(A\)oginf \(A\)kan eksistere,selv ommaks \(A\)ogmin \(A\)ikke.
På den annen side, hvis
\[q=\maks A(p=\min A)\]
da også
\[q=\sup A(p=\inf A) . \quad(\mathrm{Hvorfor}?)\]
Teorem \(\PageIndex{2}\)
Jegn et ordnet felt\(F,\)vi har\(q=\sup A(A \delsett F)\)iff
(i) \((\forall x \in A) \quad x \leq q\)og
(ii)hvert feltelement\(per overskredet av noen\(x \i A ;\)dvs.,
\[(\forall p Tilsvarende (ii') \[(\forall \varepsilon>0)(\eksisterer x \i A) \quad q-\varepsilon på samme måte, \(p=\inf A\)iff \[(\forall x \in A) \quad p \leq x \quad \text{ og } \quad(\forall \varepsilon>0)(\eksisterer x \i A) \quad p+\varepsilon>x.\ ] Betingelse (i) sier at \(q\) er en øvre grense for \(A,\) mens (ii) innebærer at ingenmindreelement \(p\) er en slik binding (siden det er detoverskredetav noen \(x\) i A). Når de kombineres, angir (i) og (ii) at \(q\) erminstøvre grense. Dessuten kan ethvert element \(p Beviset for inf \(A\) er ganske analogt. \(\torget\)
0) .\) Derfor kan (ii) omformuleres som \(\left(\mathrm{ii}^{ \prime}\right) .\)
Følgende \(\PageIndex{1}\)
La\(b \i F\)og\(A \delsett F\)i et ordnet felt\(F .\)Hvis hvert element \(x\) av \(A\) tilfredsstiller \(x \leq b(x \geq b),\) gjør det også sup \(A\), forutsatt at det eksisterer i \(F . \)
Faktisk tilstanden
\[(\forall x \in A) \quad x \leq b\]
betyr at \(b\) er en høyregrense av \(A .\) Men sup \(A\) erminsthøyre bundet, så sup \(A \leq b ;\) på samme måte for inf \(A .\)
Følgende \(\PageIndex{2}\)
I et hvilket som helst bestilt felt,\(\emptyset \neq A \subseteq B\)innebærer
\[\sup A \leq \sup B \text{ og } \inf A \geq \inf B\]
i tillegg til
\[inf A \leq \sup A\]
forutsatt at den involverte suprema og infima eksisterer.
- Bevis
-
La \(p=\inf B\) og \(q=\sup B\).
Siden \(q\) er en høyregrense av \(B\),
\[x \leq q \tekst{ for alle } x \i B.\]
Men \(A \subseteq B,\) så \(B\) inneholder alle elementene i \(A .\) Dermed
\[x \i A \Høyrepil x \i B \Høyrepil x \leq q\]
så, av konsekvens \(1,\) også
\[\sup A \leq q=\sup B,\]
som hevdet.
Tilsvarende får man inf \(A \geq \inf B\).
Til slutt, hvis \(A \neq \emptyset,\) kan vi fikse noen \(x \i A .\)
\[\inf A \leq x \leq \sup A\]
og alt er bevist. \(\torget\)