5.2 Infinite Series - Calculus Volume 2 | OpenStax (2023)

Den harmoniske serien

En nyttig serie å vite om erharmoniske serier. Den harmoniske serien er definert som

Denne serien er interessant fordi den divergerer, men den divergerer veldig sakte. Med dette mener vi at leddene i sekvensen av delsummer$\left\{S_k\right\}$nærmer seg det uendelige, men gjør det veldig sakte. Vi vil vise at serien divergerer, men først illustrerer vi den langsomme veksten av leddene i sekvensen$\left\{S_k\right\}$i følgende tabell.

Til og med etter$\mathrm{1\; 000\; 000}$vilkår er delsummen fortsatt relativt liten. Fra denne tabellen er det ikke klart at denne serien faktisk avviker. Imidlertid kan vi analytisk vise at sekvensen av delsummer divergerer, og derfor divergerer serien.

For å vise at sekvensen av delsummer divergerer, viser vi at sekvensen av delsummer er ubegrenset. Vi begynner med å skrive de første delsummene:

$$\begin{array}{l}{S}_1=1\hfill \\ S_2=1+\frac{1}{2}\hfill \\ S_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\hfill \\ S_4=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}.\hfill \end{array}$$

Legg merke til at for de to siste terminene i$S_4,$

$$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}>\frac{1}{4}+\frac{1}{4}.$$

Derfor konkluderer vi med det

$$S_4>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+2\left(\frac{1}{2}\right).$$

Bruker samme ideen til$S_8,$det ser vi

$$\begin{array}{cc}\hfill S_8& =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}>1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\right)\hfill \\ & =1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1+3\left(\frac{1}{2}\right).\hfill \end{array}$$

Fra dette mønsteret ser vi det$S_1=1,$ $S_2=1+1\text{/}2,$ $S_4>1+2\left(1\text{/}2\right),$og$S_8>1+3\left(1\text{/}2\right).$Mer generelt kan det vises det$S_{2^j}>1+j(1\text{/}2)$for alle$j>1.$Siden$1+j(1\text{/}2)\to \infty ,$vi konkluderer med at sekvensen$\left\{S_k\right\}$er ubegrenset og divergerer derfor. I forrige avsnitt uttalte vi at konvergerende sekvenser er avgrenset. Følgelig siden$\left\{S_k\right\}$er ubegrenset, divergerer den. Dermed divergerer den harmoniske serien.

Algebraiske egenskaper for konvergent serie

Siden summen av en konvergent uendelig rekke er definert som en grense for en sekvens, følger de algebraiske egenskapene for serier oppført nedenfor direkte fra de algebraiske egenskapene for sekvenser.

Geometrisk serie

ENgeometriske serierer en hvilken som helst serie som vi kan skrive i skjemaet

Fordi forholdet mellom hvert ledd i denne serien til forrige ledd err, nummeretrkalles forholdet. Vi henviser tilensom det første leddet fordi det er det første leddet i serien. For eksempel serien

$${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\text{⋯}$$

er en geometrisk serie med innledende ledd$\mathrm{en}=1$og forhold$r=1\text{/}2.$

Generelt, når konvergerer en geometrisk serie? Tenk på den geometriske serien

$${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }\mathrm{en}{r}^{n-1}$$

når$\mathrm{en}>0.$Dens sekvens av delsummer$\left\{S_k\right\}$er gitt av

$$S_k={\displaystyle \sum }_{n=1}^k\mathrm{en}{r}^{n-1}=\mathrm{en}+\mathrm{en}r+\mathrm{en}{r}^2+\text{⋯}+\mathrm{en}{r}^{k-1}.$$

Vurder saken når$r=1.$I så fall,

$$S_k=\mathrm{en}+\mathrm{en}\left(1\right)+\mathrm{en}{\left(1\right)}^2+\text{⋯}+\mathrm{en}{\left(1\right)}^{k-1}=\mathrm{en}k.$$

Siden$\mathrm{en}>0,$vi vet$\mathrm{en}k\to \infty$som$k\to \infty .$Derfor er sekvensen av delsummer ubegrenset og divergerer dermed. Følgelig divergerer den uendelige rekken for$r=1.$Til$r\ne 1,$å finne grensen for$\left\{S_k\right\},$multiplisereLigning 5.6av$1-r.$Når vi gjør det, ser vi det

$$\begin{array}{cc}\hfill \left(1-r\right)S_k& =\mathrm{en}\left(1-r\right)\left(1+r+r^2+r^3+\text{⋯}+r^{k-1}\right)\hfill \\ & =\mathrm{en}[(1+r+r^2+r^3+\text{⋯}+r^{k-1})-(r+r^2+r^3+\text{⋯}+r^k)]\hfill \\ & =\mathrm{en}\left(1-r^k\right).\hfill \end{array}$$

Alle de andre vilkårene oppheves.

Derfor,

$$S_k=\frac{\mathrm{en}\left(1-r^k\right)}{1-r}\text{til}r\ne 1.$$

Fra vår diskusjon i forrige avsnitt vet vi at den geometriske sekvensen$r^k\to 0$hvis$\left|r\right|<1$og det$r^k$divergerer hvis$\left|r\right|>1$eller$r=\text{±}1.$Derfor, for$\left|r\right|<1,$ $S_k\to \mathrm{en}\text{/}(1-r)$og vi har

$${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }\mathrm{en}{r}^{n-1}=\frac{\mathrm{en}}{1-r}\text{hvis}\left|r\right|<1.$$

Hvis$\left|r\right|\ge 1,$ $S_k$divergerer, og derfor

$${\displaystyle \sum }_{n=1}^{\infty }\mathrm{en}{r}^{n-1}\text{divergerer hvis}\left|r\right|\ge 1.$$

Geometriske serier vises noen ganger i litt forskjellige former. For eksempel, noen ganger begynner indeksen på en annen verdi enn$n=1$eller eksponenten innebærer et lineært uttrykk for$n$annet enn$n-1.$Så lenge vi kan skrive om serien i formen gitt avLigning 5.5, det er en geometrisk serie. Tenk for eksempel på serien

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+2}}.$$

For å se at dette er en geometrisk serie, skriver vi ut de første begrepene:

$$\begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n+2}}& ={\left(\frac{2}{3}\right)}^2+{\left(\frac{2}{3}\right)}^3+{\left(\frac{2}{3}\right)}^4+\text{⋯}\hfill \\ & =\frac{4}{9}+\frac{4}{9}·\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{4}{9}·{\left(\frac{2}{3}\right)}^2+\text{⋯}.\hfill \end{array}$$

Vi ser at den første terminen er$\mathrm{en}=4\text{/}9$og forholdet er$r=2\text{/}3.$Derfor kan serien skrives som

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{9}}·{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}.$$

Siden$r=2\text{/}3<1,$denne serien konvergerer, og summen er gitt av

$${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{9}}·{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}=\frac{4\text{/}9}{1-2\text{/}3}=\frac{4}{3}.$$