7.2: Số hữu tỉ và số vô tỉ (2023)

Cập nhật mới nhất
Lưu dưới dạng PDF

ID phụ: 114937

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}}}$ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!- \!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{ span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart }{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\ Norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm {span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\ mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{ \ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{ \unicode[.8,0]{x212B}}$

Mục tiêu học tập

Vào cuối phần này, bạn sẽ có thể:

Nhận biết số hữu tỉ và số vô tỉ
Phân loại các loại số thực

Hãy chuẩn bị 7.1

Trước khi bạn bắt đầu, hãy làm bài kiểm tra về sự chuẩn bị này.

Viết $3.19$ như một phân số không chính xác.
Nếu bạn bỏ sót vấn đề này, hãy xem Ví dụ 5.4.

Sẵn sàng 7.2

Viết $\frac{5}{11}$ dưới dạng số thập phân.
Nếu bạn bỏ lỡ vấn đề này, hãy xem Ví dụ 5.30.

Sẵn sàng 7.3

Đơn giản hóa: $\sqrt{144} .$
Nếu bạn bỏ sót vấn đề này, hãy xem Ví dụ 5.69.

Nhận biết số hữu tỉ và số vô tỉ

Chúc mừng! Bạn đã hoàn thành sáu chương đầu tiên của cuốn sách này! Đã đến lúc đánh giá lại những gì bạn đã làm được cho đến nay trong khóa học này và suy nghĩ về những gì phía trước. Bạn đã học cách cộng, trừ, nhân và chia các số nguyên, phân số,số nguyên, và số thập phân. Bạn đã làm quen với ngôn ngữ và ký hiệu của đại số, đồng thời đã đơn giản hóa và đánh giá các biểu thức đại số. Bạn đã giải quyết nhiều loại ứng dụng khác nhau. Bạn đã thiết lập một nền tảng vững chắc tốt mà bạn cần để có thể thành công trong môn đại số.

Trong chương này, chúng tôi sẽ đảm bảo các kỹ năng của bạn được thiết lập tốt. Chúng ta sẽ xem xét lại loại số mà chúng ta đã làm việc với tất cả các chương trước. Chúng tôi làm việc với các thuộc tính của các con số sẽ giúp bạn nâng cao hiểu biết của mình về các con số. Và chúng ta sẽ thực hành sử dụng chúng theo những cách mà chúng ta sẽ sử dụng khi giải phương trình và hoàn thành các thủ tục khác trong đại số.

Chúng ta đã mô tả số là số đếm, số nguyên và số nguyên. Bạn có nhớ sự khác biệt giữa các loại số này là gì không?

cao như vậy	$1, 2, 3, 4…$
có tất cả	$0, 1, 2, 3, 4…$
số nguyên	$… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4…$

số hữu tỉ

Bạn sẽ nhận được loại số nào nếu bạn bắt đầu với tất cả các số nguyên và sau đó bao gồm tất cả các phân số? Các số bạn muốn tạo thành tập hợp các số hữu tỷ. MỘTSố hữu tỉlà một số có thể được viết dưới dạng tỷ lệ giữa hai số nguyên.

số hữu tỉ

Số hữu tỉ là số viết được dưới dạng $\frac{S}{q},$ Ở đâu $S$ Và $q$ là số nguyên và $q \neq o .$

Tất cả các phân số, cả dương và âm, đều là số hữu tỉ. Một vài ví dụ là

$\frac{4}{5}, - \frac{7}{số 8}, \frac{1. 3}{4}, Và - \frac{20}{3}$

Mỗi tử số và mỗi mẫu số là một số nguyên.

Chúng ta cần xem xét tất cả các con số chúng ta đã sử dụng cho đến nay và xác minh rằng chúng là hợp lý. Định nghĩa về số hữu tỉ cho chúng ta biết rằng mọi phân số đều là số hữu tỉ. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét các số đếm, số nguyên, số nguyên và số thập phân để đảm bảo rằng chúng là số hữu tỉ.

Số nguyên có phải là số hữu tỉ không? Để xác định xem một số nguyên có phải là số hữu tỉ hay không, chúng ta thử viết nó dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Một cách dễ dàng để làm điều này là viết nó dưới dạng một phân số với mẫu số là một.

$3 = \frac{3}{1} −8 = \frac{−8}{1} 0 = \frac{0}{1}$

Vì mọi số nguyên đều có thể viết dưới dạng tỉ số của hai số nguyên nên mọi số nguyên đều là số hữu tỉ. Hãy nhớ rằng tất cả các số đếm và tất cả các số nguyên cũng là số nguyên, và do đó chúng cũng là số hữu tỉ.

Còn số thập phân thì sao? Họ có lý trí không? Hãy xem xét một số để xem liệu chúng ta có thể viết mỗi số dưới dạng tỉ số của hai số nguyên không. Chúng ta đã thấy rằng số nguyên là số hữu tỉ. số nguyên $−8$ có thể được viết dưới dạng số thập phân $−8,0 .$ Vì vậy, rõ ràng một số số thập phân là hợp lý.

Nghĩ về số thập phân $7.3 .$ Chúng ta có thể viết nó dưới dạng tỷ lệ giữa hai số nguyên không? Bởi vì $7.3$ người trung gian $7 \frac{3}{10},$ chúng ta có thể viết nó dưới dạng một phân số không chính xác, $\frac{73}{10} .$ Vì thế $7.3$ là tỉ số của các số nguyên $73$ Và $10 .$ Nó là một số hữu tỷ.

Nói chung, bất kỳ số thập phân nào kết thúc sau một số chữ số (chẳng hạn như $7.3$ hoặc $−1,2684)$ là một số hữu tỉ. Chúng ta có thể sử dụng nghịch đảo (hoặc nghịch đảo nhân) của giá trị vị trí của chữ số cuối cùng làm mẫu số khi viết số thập phân dưới dạng phân số.

Ví dụ 7.1

Viết mỗi số dưới dạng tỉ số của hai số nguyên:ⓐ $−15$ ⓑ $6,81$ ⓒ $−3 \frac{6}{7} .$

Phản ứng

ⓐ
	$−15$
Viết số nguyên dưới dạng phân số có mẫu số là 1.	$\frac{−15}{1}$

ⓑ
	$6,81$
Viết số thập phân dưới dạng hỗn số.	$6 \frac{81}{100}$
Sau đó biến nó thành một phân số không chính xác.	$\frac{681}{100}$

ⓒ
	$−3 \frac{6}{7}$
Chuyển hỗn số thành phân số không chính xác.	$- \frac{27}{7}$

Dùng thử 7.1

Viết mỗi số dưới dạng tỉ số của hai số nguyên:ⓐ $−24$ ⓑ $3,57 .$

Dùng thử 7.2

Viết mỗi số dưới dạng tỉ số của hai số nguyên:ⓐ $−19$ ⓑ $8,41 .$

Hãy nhìn vào dạng thập phân của các số mà chúng ta biết là hợp lý. Chúng tôi đã thấy rằng mỗisố nguyênlà mộtSố hữu tỉ, từ $TRONG = \frac{TRONG}{1}$ cho bất kỳ số nguyên nào, $TRONG .$ Chúng ta cũng có thể thay đổi bất kỳ số nguyên nào thành số thập phân bằng cách thêm dấu thập phân và số không.

$\begin{matrix} số nguyên & −2, −1, 0, 1, 2, 3 \\ Số thập phân & −2,0, −1,0, 0,0, 1.0, 2.0, 3.0 Các số thập phân này dừng lại. \end{matrix}$

Ta cũng đã thấy rằng mọi phân số đều là số hữu tỉ. Nhìn vào dạng thập phân của các phân số mà chúng ta vừa xem xét.

$\begin{matrix} Tỷ lệ số nguyên & \frac{4}{5}, & - \frac{7}{số 8}, & \frac{1. 3}{4}, & - \frac{20}{3} \\ dạng thập phân & 0,8, & -0,875, & 3,25, & −6,666 … & Các số thập phân này dừng hoặc lặp lại. \\ −6 . \overset{—}{66} \end{matrix}$

Những ví dụ này cho bạn biết điều gì? Mỗi số hữu tỷ có thể được viết dưới dạng tỷ lệ của các số nguyên và dưới dạng số thập phân dừng hoặc lặp lại. Bảng bên dưới hiển thị các số mà chúng tôi đã xem được biểu thị dưới dạng tỷ lệ giữa các số nguyên và dưới dạng số thập phân.

số hữu tỉ
	phân số	số nguyên
Con số	$\frac{4}{5}, - \frac{7}{số 8}, \frac{1. 3}{4}, \frac{−20}{3}$	$−2, −1, 0, 1, 2, 3$
Tỷ lệ số nguyên	$\frac{4}{5}, \frac{−7}{số 8}, \frac{1. 3}{4}, \frac{−20}{3}$	$\frac{−2}{1}, \frac{−1}{1}, \frac{0}{1}, \frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}$
số thập phân	$0,8, -0,875, 3,25, −6 . \overset{–}{6},$	$−2,0, −1,0, 0,0, 1.0, 2.0, 3.0$

Số vô tỉ

Có bất kỳ số thập phân nào không dừng hoặc lặp lại không? Đúng. Con số $Số Pi$ (chữ cái Hy Lạp pi, phát âm là 'pai'), rất quan trọng để mô tả các vòng tròn, có dạng thập phân không dừng hoặc lặp lại.

số vô tỷ

Số vô tỉ là số không viết được dưới dạng tỉ số của hai số nguyên. Dạng thập phân của nó không dừng và không lặp lại.

Hãy tóm tắt một phương pháp mà chúng ta có thể sử dụng để xác định xem một số là hữu tỷ hay vô tỷ.

Nếu dạng thập phân của một số

dừng lại hoặc lặp lại, số là hợp lý.
không dừng và không lặp lại, số là vô tỷ.

Ví dụ 7.2

Xác định mỗi điều sau đây là hợp lý hay không hợp lý:

ⓐ $0,58 \overset{–}{3}$
ⓑ $0,475$
ⓒ $3.605551275 …$

Phản ứng

ⓐ $0,58 \overset{–}{3}$
thanh hơn $3$ chỉ ra rằng nó đang lặp lại. Vì thế, $0,58 \overset{–}{3}$ là một số thập phân lặp lại, và do đó là một số hữu tỷ.

ⓑ $0,475$
Số thập phân này dừng lại sau $5$ , nên nó là số hữu tỉ.

ⓒ $3.605551275 …$
hình elip $(…)$ có nghĩa là con số này không dừng lại. Không có mô hình lặp lại của các chữ số. Vì con số không dừng và không lặp lại nên nó là số vô tỷ.

Dùng thử 7.3

Xác định mỗi điều sau đây là hợp lý hay không hợp lý:

ⓐ $0,29$ ⓑ $0,81 \overset{–}{6}$ ⓒ $2.515115111 …$

Dùng thử 7.4

Xác định mỗi điều sau đây là hợp lý hay không hợp lý:

ⓐ $0,2 \overset{–}{3}$ ⓑ $0,125$ ⓒ $0,418302 …$

Bây giờ chúng ta hãy nghĩ về căn bậc hai. Căn bậc hai của số chính phương luôn bằngcó tất cả, vì vậy chúng là hợp lý. Nhưng dạng thập phân của căn bậc hai của những số không phải là số chính phương không bao giờ dừng và không bao giờ lặp lại, vì vậy những căn bậc hai này là vô tỷ.

Ví dụ 7.3

Xác định mỗi điều sau đây là hợp lý hay không hợp lý:

ⓐ $\sqrt{36}$
ⓑ $\sqrt{44}$

Phản ứng

ⓐCon số $36$ là một hình vuông hoàn hảo, vì $6^{2} = 36 .$ Vì thế $\sqrt{36} = 6 .$ Vì thế $\sqrt{36}$ là hợp lý.

ⓑnhớ để $6^{2} = 36$ Và $7^{2} = 49,$ Vì thế $44$ không phải là một hình vuông hoàn hảo.

Điều này có nghĩa là $\sqrt{44}$ là không hợp lý.

Dùng thử 7.5

Xác định mỗi điều sau đây là hợp lý hay không hợp lý:

ⓐ $\sqrt{81}$
ⓑ $\sqrt{17}$

Dùng thử 7.6

Xác định mỗi điều sau đây là hợp lý hay không hợp lý:

ⓐ $\sqrt{116}$
ⓑ $\sqrt{121}$

Phân loại số thực

Chúng ta đã thấy rằng mọi số đang đếm đều là số nguyên, mọi số nguyên là số nguyên và mọisố nguyênlàsố hữu tỉ. Số vô tỉ là một phạm trù riêng. Khi ta cộng các số hữu tỉ vàsố vô tỉ, ta có tập hợp vớisố thực.

Hình 7.2 minh họa cách các bộ số được kết nối.

7.2: Rasjonelle og irrasjonelle tall (2)

Số thực

Số thực là số vừa hữu tỉ vừa vô tỉ.

Thuật ngữ "số thực" có vẻ xa lạ với bạn? Có bất kỳ con số nào không "thực" không và nếu có, chúng có thể là gì? Trong nhiều thế kỷ, những con số duy nhất mà mọi người biết là cái mà ngày nay chúng ta gọi là số thực. Sau đó, các nhà toán học đã khám phá ra tập hợp cácsố ảo.Bạn sẽ không gặp các số ảo trong khóa học này, nhưng bạn sẽ gặp sau này khi học đại số.

Ví dụ 7.4

Xác định xem mỗi số trong danh sách sau đây có phải là mộtⓐsố nguyên,ⓑsố nguyên,ⓒSố hữu tỉ,ⓓsố vô tỉ vàⓔsố thực.

$−7, \frac{14}{5}, số 8, \sqrt{5}, 5,9, - \sqrt{64}$

Phản ứng

ⓐToàn bộ số là $0, 1, 2, 3,…$ Con số $số 8$ là số nguyên duy nhất đã cho.

ⓑCác số nguyên là các số nguyên, số đối của chúng và $0 .$ Từ các số đã cho, $−7$ Và $số 8$ là số nguyên. Cũng lưu ý rằng $64$ là bình phương của $số 8$ Vì thế $- \sqrt{64} = −8 .$ Vậy các số nguyên là $−7, số 8, - \sqrt{64} .$

ⓒVì mọi số nguyên đều là số hữu tỉ nên các số $−7, số 8, Và - \sqrt{64}$ cũng là hợp lý. Số hữu tỉ cũng bao gồm phân số và số thập phân có tận cùng hoặc lặp lại, vì vậy $\frac{14}{5} Và 5,9$ là hợp lý.

ⓓCon số $5$ không phải là một hình vuông hoàn hảo, vì vậy $\sqrt{5}$ là không hợp lý.

ⓔTất cả các số được liệt kê là có thật.

Chúng tôi tóm tắt các kết quả trong một bảng.

Con số	Hel	số nguyên	Hợp lý	Không hợp lý	Thành thật
$−7$		$✓$	$✓$		$✓$
$\frac{14}{5}$			$✓$		$✓$
$số 8$	$✓$	$✓$	$✓$		$✓$
$\sqrt{5}$				$✓$	$✓$
$5,9$			$✓$		$✓$
$- \sqrt{64}$		$✓$	$✓$		$✓$

Dùng thử 7.7

Xác định xem mỗi số có phải là mộtⓐsố nguyên,ⓑsố nguyên,ⓒSố hữu tỉ,ⓓsố vô tỉ vàⓔsố thực: $−3, - \sqrt{2}, 0 . \overset{–}{3}, \frac{9}{5}, 4, \sqrt{49} .$

Dùng thử 7,8

Xác định xem mỗi số có phải là mộtⓐsố nguyên,ⓑsố nguyên,ⓒSố hữu tỉ,ⓓsố vô tỉ vàⓔsố thực: $- \sqrt{25}, - \frac{3}{số 8}, −1, 6, \sqrt{121}, 2,041975 …$

Phương tiện truyền thông

TRUY CẬP CÁC NGUỒN TRỰC TUYẾN BỔ SUNG

Mục 7.1 Bài tập

Tập luyện giúp hoàn hảo hơn

số hữu tỉ

Trong các bài tập sau, bạn viết dưới dạng tỉ số giữa hai số nguyên.

ⓐ $5$
ⓑ $3.19$

ⓐ $số 8$
ⓑ $−1,61$

ⓐ $−12$
ⓑ $9,279$

ⓐ $−16$
ⓑ $4.399$

Trong các bài tập sau, bạn quyết định số nào trong số các số đã cho là số hữu tỷ và số nào không hợp lý.

$0,75$ , $0,22 \overset{–}{3}$ , $1,39174 …$

$0,36$ , $0,94729 …$ , $2,52 \overset{–}{số 8}$

$0 . \overset{—}{45}$ , $1,919293 …$ , $3,59$

số 8.

$0,1 \overset{–}{3}, 0,42982 …$ , $1.875$

Trong các bài tập sau, hãy xác định xem mỗi số là số hữu tỉ hay số vô tỉ.

ⓐ $\sqrt{25}$
ⓑ $\sqrt{30}$

10.

ⓐ $\sqrt{44}$
ⓑ $\sqrt{49}$

11.

ⓐ $\sqrt{164}$
ⓑ $\sqrt{169}$

12.

ⓐ $\sqrt{225}$
ⓑ $\sqrt{216}$

Phân loại số thực

Trong các bài tập sau, hãy xác định xem mỗi số là số nguyên, số nguyên, hữu tỉ, vô tỉ và thực.

1. 3.

$−8$ , $0, 1,95286....$ , $\frac{12}{5}$ , $\sqrt{36}$ , $9$

14.

$−9$ , $−3 \frac{4}{9}$ , $- \sqrt{9}$ , $0,4 \overset{—}{09}$ , $\frac{11}{6}$ , $7$

15.

$- \sqrt{100}$ , $−7$ , $- \frac{số 8}{3}$ , $−1$ , $0,77$ , $3 \frac{1}{4}$

chiếu hàng ngày

16.

Cảm thấyTại $5 quần què$ học sinh lớp 10 tại Trường Tiểu học Lincoln sẽ có chuyến đi thực tế đến Bảo tàng Khoa học. Đếm tất cả trẻ em, giáo viên và người đi kèm, đó sẽ là $147$ loài người. Mỗi xe buýt giữ $44$ mọi người.

ⓐCần bao nhiêu xe buýt?

ⓑTại sao câu trả lời phải là một số nguyên?

17.

Chăm sóc trẻ emSerena muốn mở một trung tâm giữ trẻ được cấp phép. Nhà nước của cô ấy yêu cầu rằng nó không được nhiều hơn $12$ trẻ em cho mỗi giáo viên. Cô ấy muốn nhà trẻ của mình phục vụ $40$ chuồng trại.

ⓐCần bao nhiêu giáo viên?
ⓑTại sao câu trả lời phải là một số nguyên?

tập làm văn

18.

Hãy giải thích sự khác nhau giữa số hữu tỉ và số vô tỉ bằng lời của em.

19.

Giải thích các bộ số (số đếm, số nguyên, số nguyên, hữu tỉ, vô tỉ, thực) có liên quan với nhau như thế nào.

Tự kiểm tra

ⓐSau khi hoàn thành các bài tập, hãy sử dụng danh sách kiểm tra này để đánh giá mức độ thành thạo của bạn đối với các mục tiêu trong phần này.

7.2: Rasjonelle og irrasjonelle tall (3)

ⓑNếu hầu hết các séc của bạn là:

…một cách tự tin. Chúc mừng! Bạn đã đạt được các mục tiêu trong phần này. Suy nghĩ về các kỹ năng học tập bạn đã sử dụng để bạn có thể tiếp tục sử dụng chúng. Bạn đã làm gì để trở nên tự tin vào khả năng của mình để làm những việc này? Hãy cụ thể.

...với một chút giúp đỡ. Điều này phải được giải quyết nhanh chóng vì các chủ đề bạn không nắm vững sẽ trở thành một khoảng trống trên con đường dẫn đến thành công. Trong toán học, mỗi chủ đề được xây dựng dựa trên công việc trước đó. Điều quan trọng là đảm bảo bạn có một nền tảng vững chắc trước khi tiến về phía trước. Bạn có thể nhờ ai giúp đỡ? Bạn cùng lớp và người hướng dẫn của bạn là nguồn tài nguyên tuyệt vời. Có địa điểm nào trong khuôn viên trường có giáo viên dạy toán không? Kỹ năng học tập của bạn có thể được cải thiện?

…không – tôi không hiểu! Đây là một dấu hiệu cảnh báo và bạn không được bỏ qua nó. Bạn nên tìm sự giúp đỡ ngay lập tức nếu không bạn sẽ nhanh chóng bị choáng ngợp. Gặp người hướng dẫn của bạn càng sớm càng tốt để thảo luận về tình hình của bạn. Cùng nhau, bạn có thể lập một kế hoạch để cung cấp cho bạn sự giúp đỡ mà bạn cần.

7.2: Số hữu tỉ và số vô tỉ (2023)

Mục tiêu học tập

Nhận biết số hữu tỉ và số vô tỉ

số hữu tỉ

Số vô tỉ

Phân loại số thực

TRUY CẬP CÁC NGUỒN TRỰC TUYẾN BỔ SUNG

Mục 7.1 Bài tập

Tập luyện giúp hoàn hảo hơn

chiếu hàng ngày

tập làm văn

Tự kiểm tra

References