9.2E: Øvelser for Infinite Series (2023)

I øvelsene 1 - 4 bruker du sigma-notasjon for å skrive hvert uttrykk som en uendelig rekke.

1) \(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+⋯\)

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n}\)

2) \( 1−1+1−1+⋯\)

3) \( 1−\frac{1}{2}+\frac{1}{3}−\frac{1}{4}+...\)

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(−1)^{n−1}}{n}\)

4) \( \sin 1+\sin \frac{1}{2}+\sin \frac{1}{3}+\sin \frac{1}{4}+⋯\)

I oppgave 5 - 8 beregner du de fire første delsummene \( S_1,...,S_4\) for serien som har \( n^{\text{th}}\) ledd \( a_n\) som starter med \( n= 1\) som følger.

5) \( a_n=n\)

Svar
\( 1,3,6,10\)

6) \( a_n=1/n\)

7) \( a_n=\sin \frac{nπ}{2}\)

Svar
\( 1,1,0,0\)

8) \( a_n=(−1)^n\)

I oppgave 9 - 12 beregner du det generelle leddet \( a_n\) i rekken med den gitte delsummen \( S_n\). Hvis sekvensen av delsummer konvergerer, finn grensen \( S\).

9) \( S_n=1−\frac{1}{n}, \quad n≥2\)

Svar
\( a_n=S_n−S_{n−1}=\dfrac{1}{n−1}−\dfrac{1}{n}.\) Siden \(\displaystyle S = \lim_{n\to\infty } S_n = \lim_{n\to\infty} \left(1−\frac{1}{n}\right) = 1,\) serien konvergerer til \( S=1.\)

10) \( S_n=\dfrac{n(n+1)}{2}, \quad n≥1\)

11) \( S_n=\sqrt{n},\quad n≥2\)

Svar
\( a_n=S_n−S_{n−1}=\sqrt{n}−\sqrt{n−1}=\dfrac{1}{\sqrt{n−1}+\sqrt{n}}.\)
Serien divergerer fordi delsummene er ubegrensede.
Det vil si \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \sqrt{n} = \infty.\)

12) \( S_n=2−\dfrac{n+2}{2^n},\quad n≥1\)

For hver serie i øvelsene 13 - 16, bruk sekvensen av delsummer for å bestemme om rekken konvergerer eller divergerer.

13) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{n}{n+2}\)

Svar
\(S_1=1/3,\)
\( S_2=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,\)
\(S_3=1/3+2/4+3/5>3⋅(1/3)=1.\)
Generelt \( S_k>k/3,\) så divergerer serien.
Merk at \(n^{\text{th}}\) Term Test for Divergence også kan brukes for å bevise at denne serien divergerer.

14) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(1−(−1)^n))\)

15) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{(n+1)(n+2)}\) \(\quad\Big(\)Hint: Bruk en delvis brøkdekomponering sånn for \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)}.\Big)\)

Svar

\( S_1=1/(2\cdot 3)=1/6=2/3−1/2,\)

\( S_2=1/(2\cdot 3)+1/(3\cdot 4)=2/12+1/12=1/4=3/4−1/2,\)

\( S_3=1/(2\cdot 3)+1/(3\cdot 4)+1/(4\cdot 5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5 −1/2,\)

\( S_4=1/(2\cdot 3)+1/(3\cdot 4)+1/(4\cdot 5)+1/(5\cdot 6)=10/60+5/60+3/ 60+2/60=1/3=5/6−1/2.\)

Mønsteret er \(S_k=\dfrac{k+1}{k+2}−\dfrac{1}{2}.\)
Deretter \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} S_n = \lim_{n\to\infty} \left( \dfrac{k+1}{k+2}−\dfrac{1}{2} \ høyre) = \dfrac{1}{2},\) så serien konvergerer til \( 1/2.\)

16) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{2n+1}\) \(\quad\Big(\)Tips: Følg begrunnelsen for \(\displaystyle \sum_{n) =1}^∞\frac{1}{n}.\Big)\)

Anta at \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=1\), at \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞b_n=−1\), at \( a_1=2\) , og \(b_1=−3\). Bruk denne informasjonen til å finne summen av de angitte seriene i øvelsene 17 - 20.

17) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n)\)

Svar
\( \displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n+b_n) \quad = \quad \sum_{n=1}^∞ a_n + \sum_{n=1}^∞ b_n \quad = \quad 1 + (-1) \quad = \quad 0\)

18) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(a_n−2b_n)\)

19) \(\displaystyle \sum_{n=2}^∞(a_n−b_n)\)

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=2}^∞(a_n−b_n) \quad = \quad \sum_{n=2}^∞ a_n - \sum_{n=2}^∞ b_n \quad = \quad \ venstre(\sum_{n=1}^∞ a_n - a_1\right) - \left(\sum_{n=1}^∞ b_n -b_1\right) \quad = \quad (1 - 2) - (-1 - (-3)) = -1 - 2 \quad = \quad -3\)

20) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(3a_{n+1}−4b_{n+1})\)

I oppgave 21 - 26, angi om den gitte rekken konvergerer eller divergerer og forklar hvorfor.

21) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n+1000}\) (Tips: Omskriv ved å bruke en endring av indeksen.)

Svar
Serien divergerer, \(\displaystyle \sum_{n=1001}^∞\frac{1}{n}\)

22) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n+10^{80}}\) (Tips: Skriv om ved å bruke en endring av indeksen.)

23) \( 1+\frac{1}{10}+\frac{1}{100}+\frac{1}{1000}+⋯\)

Svar
Dette er en konvergent geometrisk serie, siden \(r=\frac{1}{10}<1\)

24) \( 1+\frac{e}{π}+\frac{e^2}{π^2}+\frac{e^3}{π^3}+⋯\)

25) \( 1+\frac{π}{e^2}+\frac{π^2}{e^4}+\frac{π^3}{e^6}+\frac{π^4} {e^8}+⋯\)

Svar
Dette er en konvergent geometrisk serie, siden \(r=π/e^2<1\)

26) \( 1−\sqrt{\frac{π}{3}}+\sqrt{\frac{π^2}{9}}−\sqrt{\frac{π^3}{27}}+⋯ \)

For hver \( a_n\) i oppgave 27 - 30, skriv summen som en geometrisk serie av formen \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞ar^n\). Oppgi om serien konvergerer, og hvis den gjør det, finn den nøyaktige verdien av summen.

27) \( a_1=−1\) og \( \dfrac{a_n}{a_{n+1}}=−5\) for \( n≥1.\)

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞5⋅(−1/5)^n\), konvergerer til \( −5/6\)

28) \( a_1=2\) og \( \dfrac{a_n}{a_{n+1}}=1/2\) for \( n≥1.\)

29) \( a_1=10\) og \( \dfrac{a_n}{a_{n+1}}=10\) for \( n≥1\).

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞100⋅(1/10)^n,\) konvergerer til \(\frac{100}{9}\)

30) \( a_1=\frac{1}{10}\) og \( a_n/a_{n+1}=−10\) for \( n≥1\).

I øvelsene 31 - 34 bruker du identiteten \(\displaystyle \frac{1}{1−y}=\sum_{n=0}^∞y^n\) (som er sant for \(|y| < 1 \)) for å uttrykke hver funksjon som en geometrisk serie i det angitte leddet.

31) \( \dfrac{x}{1+x}\) i \( x\)

Svar
\(\displaystyle x\sum_{n=0}^∞(−x)^n=\sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}x^n\)

32) \( \dfrac{\sqrt{x}}{1−x^{3/2}}\) i \( \sqrt{x}\)

33) \( \dfrac{1}{1+\sin^2x}\) i \(\sin x\)

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=0}^∞(−1)^n\sin^{2n}(x)\)

34) \( \sec^2 x\) i \(\sin x\)

I øvelsene 35 - 38, evaluer teleskopserien eller oppgi om serien divergerer.

35) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞2^{1/n}−2^{1/(n+1)}\)

Svar
\( S_k=2−2^{1/(k+1)}→1\) som \(k→∞.\)

36) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n^{13}}−\frac{1}{(n+1)^{13}}\)

37) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(\sqrt{n}−\sqrt{n+1})\)

Svar
\(S_k=1−\sqrt{k+1}\) divergerer

38) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞(\sin n−\sin(n+1))\)

Uttrykk hver serie i øvelsene 39 - 42 som en teleskopisk sum og vurder dens \(n^{\text{th}}\) delsum.

39) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\ln\left(\frac{n}{n+1}\right)\)

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞[\ln n−\ln(n+1)],\)
\(S_k=−\ln(k+1)\)

40) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{2n+1}{(n^2+n)^2}\) (Tips: Faktornevner og bruk delbrøker.)

41) \(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{\ln\left(1+\frac{1}{n}\right)}{(\ln n)\ln(n+1) }\)

Svar
\( a_n=\frac{1}{\ln n}−\frac{1}{\ln(n+1)}\) og \(S_k=\frac{1}{\ln(2)}−\ frac{1}{\ln(k+1)}→\frac{1}{\ln(2)}\)

42) \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{(n+2)}{n(n+1)2^{n+1}}\) (Hint: Se på \( 1/ (n2^n)\).

En generell teleskopserie er en der alle unntatt de første leddene oppheves etter å ha summert et gitt antall påfølgende ledd.

43) La \( a_n=f(n)−2f(n+1)+f(n+2),\) der \( f(n)→0\) som \( n→∞.\) Finn \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\).

Svar
\(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n=f(1)−f(2)\)

44) \( a_n=f(n)−f(n+1)−f(n+2)+f(n+3),\) der \( f(n)→0\) som \( n →∞\). Finn \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\).

45) Anta at \( a_n=c_0f(n)+c_1f(n+1)+c_2f(n+2)+c_3f(n+3)+c_4f(n+4),\) hvor \( f(n) →0\) som \(n→∞\). Finn en betingelse på koeffisientene \( c_0,…,c_4\) som gjør dette til en generell teleskopserie.

Svar
\( c_0+c_1+c_2+c_3+c_4=0\)

46) Evaluer \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+1)(n+2)}\) (Hint: \(\displaystyle \frac{1}{n) (n+1)(n+2)}=\frac{1}{2n}−\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2(n+2)}\))

47) Vurder \(\displaystyle \sum_{n=2}^∞\frac{2}{n^3−n}.\)

Svar
\(\displaystyle \frac{2}{n^3−1}=\frac{1}{n−1}−\frac{2}{n}+\frac{1}{n+1},\)
\(S_n=(1−1+1/3)+(1/2−2/3+1/4) +(1/3−2/4+1/5)+(1/4−2/5) +1/6)+⋯=1/2\)

48) Finn en formel for \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞\frac{1}{n(n+N)}\) der \( N\) er et positivt heltall.

49) [T] Definer en sekvens \(\displaystyle t_k=\sum_{n=1}^{k−1}(1/k)−\ln k\). Bruk grafen til \( 1/x\) for å bekrefte at \( t_k\) øker. Plott \( t_k\) for \( k=1…100\) og angi om det ser ut til at sekvensen konvergerer.

Svar

\( t_k\) konvergerer til \( 0,57721…t_k\) er en sum av rektangler med høyde \( 1/k\) over intervallet \( [k,k+1]\) som ligger over grafen til \( 1/x\).

9.2E: Øvelser for Infinite Series (1)

50) [T] Anta at \( N\) like ensartede rektangulære blokker er stablet oppå hverandre, noe som gir mulighet for litt overheng. Arkimedes’ spaklov innebærer at stabelen av \( N\) blokker er stabil så lenge massesenteret til de øverste \( (N−1)\) blokkene ligger ved kanten av den nederste blokken. La \( x\) angi posisjonen til kanten av den nederste blokken, og tenk på dens posisjon i forhold til midten av den nest nederste blokken. Dette innebærer at \( (N−1)x=\venstre(\frac{1}{2}−x\right)\) eller \( x=1/(2N)\). Bruk dette uttrykket til å beregne det maksimale overhenget (posisjonen til kanten av den øverste blokken over kanten av den nederste blokken.) Se følgende figur.

9.2E: Øvelser for Infinite Series (2)

Hver av de følgende uendelige rekkene konvergerer til det gitte multiplumet av \( π\) eller \( 1/π\).

I hvert tilfelle, finn minimumsverdien av \( N\) slik at \( Nth\) delsummen av serien nøyaktig tilnærmer venstre side til det gitte antall desimaler, og gi den ønskede omtrentlige verdien. Opp til \( 15\) desimaler, \( π=3,141592653589793...\)

51) [T] \(\displaystyle π=−3+\sum_{n=1}^∞\frac{n2^nn!^2}{(2n)!},\) feil \( <0,0001\)

Svar
\(N=22,\)
\(S_N=6.1415\)

52) [T] \(\displaystyle \frac{π}{2}=\sum_{k=0}^∞\frac{k!}{(2k+1)!!}=\sum_{k=0} ^∞\frac{2^kk!^2}{(2k+1)!},\) feil \( <10^{−4}\)

53) [T] \(\displaystyle \frac{9801}{2π}=\frac{4}{9801}\sum_{k=0}^∞\frac{(4k)!(1103+26390k)}{( k!)^4396^{4k}},\) feil \( <10^{−12}\)

Svar
\(N=3,\)
\(S_N=1,559877597243667...\)

54) [T] \(\displaystyle \frac{1}{12π}=\sum_{k=0}^∞\frac{(−1)^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k) !(k!)^3640320^{3k+3/2}}\), feil \( <10^{−15}\)

55) [T] En rettferdig mynt er en som har sannsynlighet \( 1/2\) for å komme opp når den snus.

en. Hva er sannsynligheten for at en rettferdig mynt kommer opp \( n\) ganger på rad?

b. Finn sannsynligheten for at en mynt kommer opp for første gang etter et jevnt antall myntsvingninger.

Svar
en. Sannsynligheten for en gitt ordnet sekvens av utfall for \( n\) myntsvingninger er \( 1/2^n\).
b. Sannsynligheten for å komme opp for første gang på \( n\) th flip er sannsynligheten for sekvensen \( TT…TH\) som er \( 1/2^n\). Sannsynligheten for å komme opp for første gang på en jevn flip er \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞1/2^{2n}\) eller \( 1/3\).

56) [T] Finn sannsynligheten for at en rettferdig mynt snus et multiplum av tre ganger før den kommer opp.

57) [T] Finn sannsynligheten for at en rettferdig mynt vil komme opp for andre gang etter et jevnt antall vendinger.

Svar
\(5/9\)

58) [T] Finn en serie som uttrykker sannsynligheten for at en rettferdig mynt vil komme opp for andre gang på et multiplum av tre vendinger.

59) [T] Det forventede antallet ganger en rettferdig mynt kommer opp er definert som summen over \( n=1,2,...\) av \( n\) ganger sannsynligheten for at mynten vil komme opp leder nøyaktig \( n\) ganger på rad, eller \( \dfrac{n}{2^{n+1}}\). Beregn det forventede antallet påfølgende ganger en rettferdig mynt vil komme opp.

Svar
\(\displaystyle E=\sum_{n=1}^∞\frac{n}{2^{n+1}}=1,\) som kan vises ved bruk av summering av deler

60) [T] En person setter inn \($10\) i begynnelsen av hvert kvartal på en bankkonto som tjener \(4%\) årlig rente sammensatt kvartalsvis (fire ganger i året).

en. Vis at renten akkumulert etter \(n\) kvartaler er \($10(\frac{1.01^{n+1}−1}{0.01}−n).\)

b. Finn de åtte første leddene i sekvensen.

c. Hvor mye rente har akkumulert etter \( 2\) år?

61) [T] Anta at mengden av et medikament i en pasients system reduseres med en multiplikasjonsfaktor \(r<1\) hver time. Anta at en ny dose gis hver \(N\) time. Finn et uttrykk som gir mengden \( A(n)\) i pasientens system etter \( n\) timer for hver \( n\) i form av dosering \( d\) og forholdet \( r\ ). (Tips: Skriv \( n=mN+k\), hvor \( 0≤k

Svar
Delen av den første dosen etter \( n\) timer er \( dr^n\), delen av den andre dosen er \( dr^{n−N}\), og, generelt, den gjenværende delen av \(m^{\text{th}}\)-dosen er \(dr^{n−mN}\), så \(\displaystyle A(n)=\sum_{l=0}^mdr^{n −lN}=\sum_{l=0}^mdr^{k+(m−l)N}=\sum_{q=0}^mdr^{k+qN}=dr^k\sum_{q=0} ^mr^{Nq}=dr^k\frac{1−r^{(m+1)N}}{1−r^N},\;\text{hvor}\,n=k+mN.\ )

62) [T] Et bestemt medikament er effektivt for en gjennomsnittspasient bare hvis det er minst \( 1\) mg per kg i pasientens system, mens det er trygt kun hvis det er høyst \( 2\) mg pr. kg i en gjennomsnittlig pasients system. Anta at mengden i en pasients system reduseres med en multiplikasjonsfaktor på \(0,9\) hver time etter at en dose er administrert. Finn det maksimale intervallet \( N\) timer mellom doser, og tilsvarende doseområde \( d\) (i mg/kg) for denne \( N\) som vil gjøre bruken av stoffet både sikker og effektiv i på lang sikt.

63) Anta at \( a_n≥0\) er en tallsekvens. Forklar hvorfor sekvensen av delsummer av \( a_n\) øker.

Svar
\(S_{N+1}=a_{N+1}+S_N≥S_N\)

64) [T] Anta at \( a_n\) er en sekvens av positive tall og sekvensen \( S_n\) av delsummer av \( a_n\) er avgrenset ovenfor. Forklar hvorfor \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) konvergerer. Forblir konklusjonen sann hvis vi fjerner hypotesen \( a_n≥0\)?

65) [T] Anta at \( a_1=S_1=1\) og at man, for gitte tall \( S>1\) og \( 0

Svar
Siden \( S>1, a_2>0,\) og siden \( k<1, S_2=1+a_2<1+(S−1)=S\). Hvis \( S_n>S\) for noen \( n\), så er det en minste \( n\). For denne \( n, S>S_{n−1}\), så \( S_n=S_{n−1}+k(S−S_{n−1})=kS+(1−k)S_{n −1}0\) for alle \( n\), så \( S_n\) øker og avgrenses av \( S\). La \(\displaystyle S_∗=\lim S_n\). Hvis \( S_∗0\), men vi kan finne n slik at \( S_∗−S_n<δ/2\), som innebærer at \( S_{n+1}=S_n+k(S−S_n) >S_∗+δ/2\), motsier at Sn øker til \( S_∗\). Dermed \(S_n→S.\)

66) [T] En versjon avfra Bertalanffy vekstkan brukes til å estimere alderen til et individ i en homogen art fra dens lengde dersom den årlige økningen i år \( n+1\) tilfredsstiller \( a_{n+1}=k(S−S_n)\), med \( S_n\) som lengden ved år \( n, S\) som begrensende lengde, og \( k\) som en relativ vekstkonstant. Hvis \( S_1=3, S=9,\) og \(k=1/2,\) estimerer numerisk den minste verdien av n slik at \( S_n≥8\). Merk at \( S_{n+1}=S_n+a_{n+1}.\) Finn den tilsvarende \( n\) når \( k=1/4.\)

67) [T] Anta at \(\displaystyle \sum_{n=1}^∞a_n\) er en konvergent serie med positive termer. Forklar hvorfor \(\displaystyle \lim_{N→∞}\sum_{n=N+1}^∞a_n=0.\)

Svar
La \(\displaystyle S_k=\sum_{n=1}^ka_n\) og \(S_k→L\). Så blir \( S_k\) til slutt vilkårlig nær \( L\), som betyr at \(\displaystyle L−S_N=\sum_{n=N+1}^∞a_n\) blir vilkårlig liten som \( N→ ∞.\)

68) [T] Finn lengden på den stiplede sikk-sakk-banen i følgende figur.

9.2E: Øvelser for Infinite Series (3)

69) [T] Finn den totale lengden på den stiplede banen i følgende figur.

9.2E: Øvelser for Infinite Series (4)

Svar
\(\displaystyle L=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sum_{n=1}^∞\frac{1}{2^n}=\frac{3}{2} \).

70) [T] DenSierpinski trekantfås fra en trekant ved å slette den midterste fjerdedelen som angitt i det første trinnet, ved å slette de midterste fjerdedelene av de resterende tre kongruente trekantene i det andre trinnet, og generelt slette de midterste fjerdedelene av de resterende trekantene i hvert påfølgende trinn. Forutsatt at den opprinnelige trekanten er vist i figuren, finn arealene til de gjenværende delene av den opprinnelige trekanten etter \( N\) trinn og finn den totale lengden av alle grensetrekantene etter \( N\) trinn.

9.2E: Øvelser for Infinite Series (5)

71) [T] Sierpinski-pakningen oppnås ved å dele enhetsfirkanten i ni like store delkvadrater, fjerne den midterste firkanten og deretter gjøre det samme på hvert trinn til de resterende delkvadrene. Figuren viser det gjenværende settet etter fire iterasjoner. Beregn det totale arealet som er fjernet etter \( N\) trinn, og beregn lengden på den totale omkretsen av det gjenværende settet etter \( N\) trinn.

9.2E: Øvelser for Infinite Series (6)

Svar
På trinn én fjernes en kvadrat av arealet \( 1/9\), på trinn \( 2\) fjerner man \( 8\) kvadrater av arealet \( 1/9^2\), ved trinn tre fjerner man \ ( 8^2\) kvadrater av området \( 1/9^3\), og så videre. Det totale fjernede området etter \( N\) stadier er \(\displaystyle \sum_{n=0}^{N−1}\frac{8^N}{9^{N+1}}=\frac{1 }{8}\cdot\frac{1−(8/9)^N}{1−8/9}→1\) som \(N→∞.\) Den totale omkretsen er \(\displaystyle 4+4 \sum_{n=0}^∞\frac{8^N}{3^{N+1}}→∞.\)

References

Top Articles
Latest Posts
Article information

Author: Virgilio Hermann JD

Last Updated: 11/11/2023

Views: 6187

Rating: 4 / 5 (41 voted)

Reviews: 80% of readers found this page helpful

Author information

Name: Virgilio Hermann JD

Birthday: 1997-12-21

Address: 6946 Schoen Cove, Sipesshire, MO 55944

Phone: +3763365785260

Job: Accounting Engineer

Hobby: Web surfing, Rafting, Dowsing, Stand-up comedy, Ghost hunting, Swimming, Amateur radio

Introduction: My name is Virgilio Hermann JD, I am a fine, gifted, beautiful, encouraging, kind, talented, zealous person who loves writing and wants to share my knowledge and understanding with you.