Et definitivt bevis på at 1 > 0 · Fra null til én · Natecation (2023)

Hver gang vi skaper noe nytt, går vi fra 0 til 1. Skapelseshandlingen er enestående, det samme er skapelsesøyeblikket, og resultatet er noe friskt og merkelig.

Peter Thiel,Null til én

ENStudie fra 1992 publisert iNaturjobbet med fem måneder gamle spedbarn for å bestemme deres evne til å forstå addisjon og subtraksjon. Eksperimentører viste babyer en gjenstand, gjemte den bak en skjerm, og fikk deretter babyene til å se på mens de la til en ekstra gjenstand bak skjermen. Under noen forsøk fjernet eksperimentørene i det skjulte den ekstra gjenstanden. Selv i den alderen visste babyene at noe var galt da de så "null flere" objekter lagt til gruppen i stedet for "ett til" objekt.

For det meste er dette den medfødte intuisjonen som bar oss gjennom de tidlige mattetimene våre. Hvis vi var heldige (eller uheldige, avhengig av hvem du spør), fikk vi vår første smakebit på å formalisere denne intuisjonen i geometri på ungdoms- eller videregående skole. Ved å starte med påstander kalt "aksiomer" - ting vi tok for gitt som sanne - ble vi tvunget til å vurdere hvordan intuisjonen vår stammet fra disse aksiomene, og konstruerte formelle, om enn grunnleggende, matematiske "bevis" for resultater somCosinuslovenellerkongruens av to trekanter.

Hvis du har glemt det, sier Cosinusloven det$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$c2=en2+b2−2abcos(C), hvor$en$en,$b$b, og$c$cer sidelengder av en trekant og$C$Cer vinkelen motsatt av siden$c$c. Hvis du kobler til 90 grader for$C$C, får du Pythagoras teorem.

I den første geometritimen ble vi fortalt hva vi kunne anta var sant - men stoppet vi noen gang for å spørre hvorfor?

Hvem bestemte hva vi kunne ta for gitt? Hvorfor disse spesifikke aksiomene? Hvorfor kunne vi ikke anta at Cosinusloven var sann, og hvorfor måtte vi bevise det?

Matematikere har tenkt lenge og hardt på disse spørsmålene, og fellesskapets konsensus er ikke nødvendigvis på spesifikke aksiomer som vi tar for gitt som sanne, men på et prinsipp: hold antall antakelser på et minimum. Dette ligner på en kjent problemløsningsteknikk kjent somOccams barberhøvel: "Når man presenterer konkurrerende hypoteser for å løse et problem, bør man velge løsningen med færrest antakelser."

Bestemme aksiomer

Problemet med å komme med et minimalt sett med aksiomer som all matematikk følger fra, er vanskeligere enn det ser ut til. Matematikere har jobbet i årevis for å gjøre det, og det mest kjente forsøket varPrincipia Mathematica, utgitt i 1913 av matematikerne Alfred North Whitehead og Bertrand Russell. I 1931, derimot, logiker Kurt Gödelbeviste at et slikt system var umulig— kort sagt, ethvert valg av aksiomer ville enten være ufullstendig og ute av stand til å bevise all matematikk; eller inkonsekvent, og kan brukes til å bevise motsetninger.

Ikke desto mindre må matematikk starte fra et sted, og derfor har matematikere definert spesifikke aksiomer for spesialiseringene de jobber i, som geometri (tenk Euklids aksiomer). Disse spesialiserte aksiomene er det geometrister, algebraister og så videre har bestemt er det minimale settet med antakelser de trenger for å gjøre produktivt arbeid og trekke gyldige konklusjoner.

Det er gjennom disse aksiomene vi strengt kan vise at 1 faktisk er større enn 0 - ikke fra tåkelige forestillinger som "intuisjon", men fra solid matematisk fotfeste bygget på den aksiomatiske konsensusen til det matematiske fellesskapet.

Faktisk er det kanskje dette som skiller vår mentale kapasitet fra de til fem måneder gamle.

Som en sidenote har bucking-konvensjon og utforskning av konsekvensene av alternative aksiomer ført til etableringen av helt nye grener av matematikken. Et eksempel ersfærisk geometri, som kaster tradisjonelle euklidiske fundamenter ut av vinduet. På en kule, for eksempel, kan vinklene til en trekant summere seg til mer enn 180 grader.

Aksiomer vi trenger

«Gud skapte de naturlige tallene; alt annet er menneskets verk."

Leopold Kronecker , tysk matematiker

Når jeg sier "minimalt sett med forutsetninger", er det mange forskjellige nivåer av "minimal" vi kan starte på. Vårt grunnleggende abstraksjonsnivå kan potensielt være at alt vi trenger å jobbe med er de naturlige tallene -$1, 2, 3, ...$1,2,3,...- somKroneckerser ut til å gå inn for. Alternativt kan vi ganske enkelt ta$1 > 0$1>0å være et aksiom.

Vi kunne gå i noen retninger med den første tilnærmingen. Det erPeano-aksiomer, som er et sett med aksiomer på de naturlige tallene som tar sikte på å fullstendig beskrive deres oppførsel. Disse aksiomene er nesten somNewtons lover- ikke konstruert, men snarere enbeskrivelseav de "naturlige" egenskapene til de naturlige tallene. I denne tilnærmingen har vi rett og slettdefinerederekkefølgen av de naturlige tallene, så konkluderer vi$1 > 0$1>0ved konstruksjon.

Vi definerer rekkefølgen av de naturlige tallene som: for naturlige tall$en$enog$b$b,$a \leq b$en≤bhvis og bare hvis$a + c = b$en+c=bfor et naturlig tall$c$c.

Det er gyldig, men til en viss grad virker det som et litt billig skudd - vi definerer i hovedsak resultatet vårt til eksistens.

På den annen side kunne vi prøve å bevise$1 > 0$1>0i de reelle tallene. Men å starte fra det grunnleggende i denne retningen er nesten "for nær maskinvaren", og for å gå fra det naturlige ($1, 2, 3$1,2,3, etc.) til reals (f.eks.$\sqrt{2}, \pi, 3$2​,Pi,3) nødvendiggjør bruk av slike begreper somHyggelige sekvenser,ekvivalensklasser, og mer — verktøy som krever en grundig bakgrunn i moderne algebra (som jeg dessverre mangler).

For å ta den siste tilnærmingen, aksiomatisere konklusjonen vår om at$1 > 0$1>0i sannhet, ville være beslektet med å spise dessert før middag.

Tilnærmingen som jeg fant mest opplysende – tilgjengelig, men likevel tilfredsstillende streng – ble presentert i mininnledende analyseklasseved University of Michigan avProfessor Stephen DeBacker. Vi starter på et abstraksjonsnivå som er lett forståelig - men likevel tilstrekkelig logisk atskilt fra resultatet vårt - så vi vil fortsatt kunne se førstehånds hvordan våre grunnleggende antakelser kan brukes til å formalisere den tilsynelatende enkle konklusjonen vi går etter. Videre vil våre grunnleggende forutsetninger være de samme forutsetningene som brukes av spesialister innen fagområdenemoderne algebraogekte analyse– Så jeg vil si at vi er berettiget til å velge dette stedet som utgangspunkt.

Vår "minimale antakelse" er at de reelle tallene tilfredsstiller egenskapene nedenfor, hvor$en$en,$b$b, og$c$cer vilkårlige reelle tall. Begrepet som vanligvis brukes av det matematiske samfunnet for å referere til hver egenskap er oppført i parentes ved siden av hver enkelt.

1. $a + b$en+ber et reelt tall (dvs. å legge til to reelle tall resulterer i et annet reelt tall, også kjent som "lukking under addisjon")
2. $a \ ganger b$en×ber et reelt tall ("lukking under multiplikasjon")
3. $a + b = b + a$en+b=b+en(dvs. vi kan bytte rekkefølge på tillegg, kjent som "kommutativitet for tillegg")
4. $(a + b) + c = a + (b + c)$(en+b)+c=en+(b+c)(dvs. vi kan legge til i hvilken som helst rekkefølge, kjent som "assosiativitet av tillegg")
5. Det finnes et reelt tall$0$0slik at$a + 0 = a$en+0=en($0$0er et "additivt identitetselement")
6. Det finnes et reelt tall$x$xslik at$a + x = 0$en+x=0($x$xer et "additivt inverst element")
7. $a \ ganger b = b \ ganger a$en×b=b×en("kommutativitet av multiplikasjon")
8. $(a \ ganger b) \ ganger c = a \ ganger (b \ ganger c)$(en×b)×c=en×(b×c)("assosiativitet av multiplikasjon")
9. Det finnes et reelt tall$1$1slik at$a \ ganger 1 = a$en×1=en(1 er en "multiplikativ identitet")
10. Det finnes et reelt tall$y$yslik at$a \ ganger y = 1$en×y=1, når$en$ener ikke null ($y$yer en "multiplikativ invers")
11. $a \ ganger (b + c) = a \ ganger b + a \ ganger c$en×(b+c)=en×b+en×c("distributivitet")
12. $1 og ikke 0$1=0
13. De reelle tallene er delt inn i positive og negative delmengder
14. Legge til og multiplisere positive tall (dvs. tall større enn$0$0) resulterer sammen i et positivt tall
15. Hvert reelt tall$en$ener enten positiv ($a > 0$en>0), negativ ($a < 0$en<0), eller null i seg selv ($a = 0$en=0)

Foreløpig kan vi plugge inn noen få verdier for$en$en,$b$b, og$c$cfor å få en intuisjon for hvorfor hver av disse egenskapene holder. Igjen, det er måter åbevis at de reelle tallene tilfredsstiller alle egenskapene ovenforved å bruke verktøy fra moderne algebra, men uten den bakgrunnen, er det vi har ovenfor et veldig tilgjengelig utgangspunkt.

Vi trenger heller ikke å bruke alle de gitte egenskapene ovenfor i beviset vårt, men jeg har listet dem alle her fordi en (potensielt uendelig) samling av tall somtilfredsstille de første tolv egenskapenehar et spesielt navn blant matematikere - et "felt". Hvis den samlingen av tall også tilfredsstiller de tre siste egenskapene, kalles den en"ordnet felt". I hovedsak er vår antagelse at de reelle tallene danner et ordnet felt.

Beviset

For å begynne beviset vårt, antar vi vårt aksiom - at de reelle tallene danner et ordnet felt, og følgelig oppfyller de femten egenskapene ovenfor.

For å starte med egenskapene (5) og (9) ovenfor, vet vi at reelle tall$0$0og$1$1eksistere. Av eiendom (15) vet vi det$1$1er enten positiv, negativ eller null. Ved eiendom (12) vet vi det$1 og ikke 0$1=0. Det gir to muligheter: enten$1$1er positiv, og$1 > 0$1>0; eller$1$1er negativ, og$1 < 0$1<0.

Vi fortsetter nå med en teknikk kjent som "bevis ved motsetning." I hovedsak antar vi at noe vi ønsker å vise er usant for å være sant, ogbruke den antatte sannheten for å bevise noe som vi med sikkerhet vet er usant. Den logiske konsekvensen av denne typen manøvrering er atdet må være umulig for det vi antok var sant å være sant, fordi det førte til en umulighet. Derfor må det være usant.

Hvis vi har noen få muligheter å velge mellom, hvorav en må være sann, er denne taktikken en god måte å eliminere de umulige valgene og begrense omfanget av hva den reelle muligheten er.

Hvis bevis ved selvmotsigelse høres komplisert ut, er det det - men det er også et viktig matematisk verktøy. Noen ganger gjør kompleksiteten ved å bevise noe direkte - uten motsetninger - problemet vanskelig nok til at det faktisk kan være lettere å vise at de alternative mulighetene rett og slett ikke kan være sanne.

La oss anta det$1 < 0$1<0— det$1$1er negativ — og viser at det fører til en umulighet. En potensiell umulighet som vi kan demonstrere er at denne antagelsen innebærer det$1 \geq 0$1≥0, fordi av eiendom (15),$1$1kan ikke være både mindre enn null og større enn eller lik null på samme tid.

Ved eiendom (6) eksisterer det et reelt tall$x$xslik at$1 + x = 0$1+x=0.

Vi kan legge til$x$xtil begge sider for å få$1 + x < 0 + x$1+x<0+x.

Siden eiendom (5) forteller oss det$0 + x = x$0+x=x, kan vi forenkle ulikheten til$0 < x$0<x.

Vi kan ikke si det ennå$x$xmå være$-1$−1, men - eiendom (6) sier bare at derfinneset reelt tall$x$x. Vi må bevise det.

Et lemma er en mellomsannhet som vi kan bruke for å bevise et større resultat. Om noe heter ateoremellerlemmaer ikke nødvendigvis veldefinert, men generelt "hjelper" lemmas oss til å bevise hva vi virkelig vil.

Lemma: Additive inverse elementer er unike

I vårt tilfelle, for å bevise at$x$xi eiendom (6) er unik - spesifikt at det bare eksistererenekte nummer$x$xslik at$1 + x = 0$1+x=0(og følgelig det reelle tallet$x$xmå være$-1$−1), kan vi igjen fortsette med selvmotsigelse.

Anta at det finnes et annet reelt tall$z$z, hvor$z \neq x$z=x, slik at$1 + z = 0$1+z=0. Tenk nå på uttrykket$x + 1 + z$x+1+z. Siden likhet er refleksiv - dvs.$a = a$en=enfor alle$en$en- vi vet det$x + 1 + z = x + 1 + z$x+1+z=x+1+z.

Ved egenskap (4), assosiativitet av addisjon, kan vi gruppere begrepene som$(x + 1) + z = x + (1 + z)$(x+1)+z=x+(1+z).

Ved egenskap (3), kommutativitet av tillegg, kan vi omorganisere den første mengden for å få$(1 + x) + z = x + (1 + z)$(1+x)+z=x+(1+z).

Siden$1 + x$1+xog$1 + z$1+zbegge er lik null, vi har$0 + z = x + 0$0+z=x+0, og etter egenskap (5), det additive identitetselementet,$z = x$z=x. Imidlertid antok vi$z \neq x$z=x, så vi har en motsetning!

Dermed kan det bare eksistereenekte nummer$x$xslik at$1 + x = 0$1+x=0. Hvis vi erstatter alle forekomster av$1$1i linjene over med et vilkårlig reelt tall$en$en, dette lemmaet viser det for ethvert reelt tall$en$en, det finnes enunik $x$xslik at$a + x = 0$en+x=0. Siden dette$x$xer unik, kan vi trygt gi dette$x$xet unikt navn,$-en$−en, som resulterer i den kjente forestillingen om negative, hvor$a + (-a) = 0$en+(−en)=0. I vårt konkrete tilfelle viser dette det$x$xmå like$-1$−1.

Lemma: Negative tegn "Avbryt"

Ved å bruke resultatene av lemmaet ovenfor, vår ulikhet fra før,$0 < x$0<x, blir$0 < -1$0<−1.

Ved egenskap (14) er produktet av positive tall positivt, altså$0 < (-1)(-1)$0<(−1)(−1). Vi kan foreløpig ikke si at "to negativer opphever hverandre", men ingen av aksiomene antyder det! Vi måbeviseat$(-1)(-1) = (1)(1)$(−1)(−1)=(1)(1). Vi trenger et annet lemma.

I det generelle tilfellet, for et hvilket som helst reelt tall$en$en, det må vi vise$(-a)(-a) = (a)(a) = a^2$(−en)(−en)=(en)(en)=en2. Egenskap (6) – antagelsen om at hvert element har en additiv invers – omhandler negative fortegn, og kan gi en interessant vei for å vise dette.

Hvis du føler at du får taket på ting, kan du gjerne stoppe her og prøve å bruke aksiomene til å bevise noen av mellomresultatene på egen hånd. Hvis du står fast, kan du alltids scrolle ned!

Siden additive inverser er unike, vet vi at det er et unikt reelt tall$-a^2$−en2slik at$a^2 + (-a^2) = 0$en2+(−en2)=0.

Ved egenskap (3), kommutativiteten til tillegg, har vi$-a^2 + a^2 = 0$−en2+en2=0.

Det forrige lemmaet fortalte oss at hvis$-a^2 + x = 0$−en2+x=0, deretter$x$xer unik, så hvis vi har et uttrykk for formen$-a^2 + x = 0$−en2+x=0, må vi ha$x = a^2$x=en2. Altså, hvis vi kan vise det$-a^2 + (-a)(-a) = 0$−en2+(−en)(−en)=0, det vet vi sikkert$(-a)(-a) = a^2$(−en)(−en)=en2.

La oss jobbe med uttrykket$-a^2 + (-a)(-a)$−en2+(−en)(−en). Vi må skille oss på en eller annen måte$-a^2$−en2inn i dens bestanddeler for å faktorisere det, så vi trenger enda et lemma - for å bevise det$-a^2 = -a(a)$−en2=−en(en).

Lemma: Produktet av negativt og positivt er negativt

For dette lemmaet tar vi en lignende tilnærming til den vi startet ovenfor, og bruker det unike med additive inverser for å vise at ett produkt må tilsvare et annet produkt. Siden$-a^2$−en2er den unike additiv inverse av$a^2$en2, hvis vi viser det$a^2 + (-a)(a) = 0$en2+(−en)(en)=0, deretter$(-a)(a) = -a^2$(−en)(en)=−en2.

Noter det$a^2 = a(a)$en2=en(en), så ved egenskap (7), kommutativiteten til multiplikasjon, har vi$a^2 + (-a)(a) = a(a) + a(-a)$en2+(−en)(en)=en(en)+en(−en).

Ved eiendom (11), kan vi faktor$a(a) + a(-a)$en(en)+en(−en)inn i$a(a + (-a))$en(en+(−en)).

Etter eiendom (6),$a + (-a) = 0$en+(−en)=0, så vi har$a^2 + (-a)(a) = a0$en2+(−en)(en)=en0.

Vi ville være ferdige hvis$a0 = 0$en0=0, men vi har ikke bevist det ennå!

Lemma: Produkt med 0 er 0

Etter eiendom (5),$0 + 0 = 0$0+0=0. Dermed kan vi skrive$a0 = a(0 + 0)$en0=en(0+0).

Ved eiendom (11) fordeler dette seg til$a0 = a0 + a0$en0=en0+en0.

Ved egenskap (6) eksisterer det en unik additiv invers$-a0$−en0av$a0$en0, slik at vi kan legge det til begge sider av ligningen vår for å få$a0 + (-a0) = a0 + a0 + (-a0)$en0+(−en0)=en0+en0+(−en0).

Forenkling får vi$0 = a0$0=en0.

Sette alt sammen

Med det kan vi konkludere med det$a^2 + (-a)(a) = a0 = 0$en2+(−en)(en)=en0=0, så$(-a)(a) = -a^2$(−en)(en)=−en2.

Vi har tatt det inn i det forrige lemmaet$-a^2 + (-a)(-a) = -a(a) + (-a)(-a)$−en2+(−en)(−en)=−en(en)+(−en)(−en).

Ved egenskap (11) kan vi så faktorisere dette uttrykket inn$-a^2 + (-a)(-a) = -a(a + (-a))$−en2+(−en)(−en)=−en(en+(−en)).

Ved egenskap (6), å sette additiv-inversene sammen, har vi$-a^2 + (-a)(-a) = -a0$−en2+(−en)(−en)=−en0, så$-a^2 + (-a)(-a) = 0$−en2+(−en)(−en)=0.

Dermed,$(-a)(-a)$(−en)(−en)er den unike additiv inverse av$-a^2$−en2, og derfor$(-a)(-a) = a^2$(−en)(−en)=en2.

Vi pakker ut helt til toppen, vi slapp kl$0 < (-1)(-1)$0<(−1)(−1). Dette siste lemmaet forteller oss det$(-1)(-1) = (1)(1)$(−1)(−1)=(1)(1). Ved egenskap (9), det multiplikative identitetselementet,$(1)(1) = 1$(1)(1)=1. Dermed har vi$0 < 1$0<1, så$1 > 0$1>0.

Dette er en selvmotsigelse, fordi vi antok det$1 < 0$1<0! Ved egenskap (15) er hvert reelt tall enten positivt, negativt eller null - ingen tall kan være både positivt og negativt på samme tid! Dermed har vi en umulighet, og vår opprinnelige antagelse -$1 < 0$1<0- kan ikke holde. Vi kan eliminere den muligheten, og la bare én gjenværende sak være igjen:$1 > 0$1>0. Siden vi vet at hvert reelt tall må falle inn i ett av de tre tilfellene, og vi har eliminert to av dem, må vi ha$1 > 0$1>0.

Som Peter Thiel så fint sa det, hvor friskt og rart.