Vi har lært at eksponenter er gjentatt multiplikasjon. Dette er en god introduksjon, men den brytes ned på 3^1,5 og hjernevridningen 0^0. Hvordan gjentar du null null ganger og får 1?
Du kan ikke, ikke mens eksponenter er gjentatt multiplikasjon. I dag skal vår mentale modell oppgraderes.
Ser på aritmetikk som transformasjoner
La oss gå tilbake - hvordan lærer vi aritmetikk? Vi har lært at tall er tellinger av noe (fingre), addisjon er å kombinere tellinger (3 + 4 = 7) og multiplikasjon er gjentatt addisjon (2 ganger 3 = 2 + 2 + 2 = 6).
Gjentatt addisjon fungerer når du multipliserer med fine runde tall som 2 og 10, men ikke når du bruker tall som -1 og $\sqrt{2}$. Hvorfor?
Modellen vår var ufullstendig. Tall er ikke bare en telling; et bedre synspunkt er enposisjon på en linje. Denne plasseringen kan være negativ (-1), mellom andre tall ($\sqrt{2}$), eller i en annen dimensjon (i).
Aritmetikk ble en måte åtransformere et tall: Addisjon var glidende (+3 betyr skyv 3 enheter til høyre), og multiplikasjon var skalering (ganger 3 betyr oppskalering 3x).
Så hva er eksponenter?
Gå inn i Expand-o-tron(TM)
La meg introdusere Expand-o-tron 3000.
Ja, denne enhetenutseendesom en dårlig mikrobølgeovn - men i stedet for å varme opp mat, øker den i antall. Sett inn et tall og et nytt kommer ut. Dette er hvordan:
- Start med 1.0
- Settveksttil ønsket endring etter ett sekund (2x, 3x, 10,3x)
- Setttidtil antall sekunder
- Trykk på knappen
Og shazam! Klokken ringer og vi trekker frem vårt skinnende nye nummer. Anta at vi ønsker å endre 1.0 til 9:
- Sett 1.0 i expand-o-tron
- Still inn endringen for "3x" vekst, og tiden for 2 sekunder
- Trykk på knappen
Tallet begynner å forvandle seg så snart vi begynner: Vi ser 1.0, 1.1, 1.2 ... og like ved første sekund er vi på 3.0. Men det fortsetter: 3.1, 3.5, 4.0, 6.0, 7.5. Akkurat som vi avslutter det andre sekundet er vi på 9,0. Se vårt skinnende nye nummer!
Matematisk gjør expand-o-tron (eksponentfunksjon) dette:
eller
For eksempel, 3^2 = 9/1. Grunnlaget er mengden for å vokse hver enhet (3x), og eksponenten er mengden tid (2). En formel som 2^n betyr "Bruk expand-o-tron ved 2x vekst i n sekunder".
Vi starter alltid med 1.0 i expand-o-tron for å se hvordan den endrer en enkelt enhet.Hvis vi vil se hva som ville skje hvis vi startet med 3.0 i expand-o-tron, skalerer vi bare opp det endelige resultatet. For eksempel:
- "Start med 1 og dobbel 3 ganger" betyr 1 * 2^3 = 1 * 2 * 2 * 2 = 8
- "Start med 3 og dobbel 3 ganger" betyr 3 * 2^3 = 3 * 2 * 2 * 2 = 24
Når du ser en vanlig eksponent for seg selv (som 2^3), starter vi med 1.0.
Forstå eksponentiell skaleringsfaktor
Når vi multipliserer, kan vi bare angi den endelige skaleringsfaktoren. Vil du ha den 8 ganger større? Multipliser med 8. Ferdig.
Eksponenter er litt … kresne:
Du:Jeg vil gjerne øke dette tallet.
Expand-o-tron:Ok, stikk den inn.
Du:Hvor stor blir den?
Expand-o-tron:Jøss, jeg vet ikke. La oss finne det ut…
Du:Finne ut? Jeg håpet du kunne
Expand-o-tron:Shh!!! Det vokser! Det vokser!
Du:…
Expand-o-tron:Det er gjort! Mesterverket mitt lever!
Du:Kan jeg gå nå?
Expansion-o-tronen er indirekte. Bare du ser på det, er du ikke sikker på hva det vil gjøre: Hva betyr 3^10 for deg? Hvordan får det deg til å føle deg? I stedet for en fin, ryddig skaleringsfaktor, vil eksponenter at vi skal føle, gjenoppleve, til og med lukte vekstprosessen. Uansett hva du ender med er skaleringsfaktoren din.
Det høres rundt og irriterende ut. Du vet hvorfor?De fleste ting i naturen vet ikke hvor de ender opp!
Tror du bakterierplanerpå dobling hver 14. time? Nei – den spiser bare det mugne brødet du glemte i kjøleskapet så fort den kan, og etter hvert som den blir mer, begynner den å vokse enda raskere. For å forutsi atferden bruker vi hvor raskt de vokser (nåværende hastighet) og hvor lenge de vil endre seg (tid) for å finne ut deres endelige verdi.
Svaret må utarbeides - eksponenter er en måte å si "Begynn med disse forholdene, begynn å endre deg og se hvor du ender opp". Expand-o-tron (eller kalkulatoren vår) gjør jobben ved å knuse tallene for å få den endelige skaleringsfaktoren. Men noen må gjøre det.
Forstå brøkkrefter
La oss se om expand-o-tron kan hjelpe oss å forstå eksponenter. Først ut: hva betyr ved 2^1,5?
Det er forvirrende når vi tenker på gjentatt multiplikasjon. Men expand-o-tron gjør det enkelt: 1,5 er bare tiden i maskinen.
- 2^1 betyr 1 sekund i maskinen (2x vekst)
- 2^2 betyr 2 sekunder i maskinen (4x vekst)
2^1,5 betyr 1,5 sekunder i maskinen, så et sted mellom 2x og 4x vekst (mer senere). Ideen om "gjentatt telling" fikk oss til å bruke hele tall, men brøksekunder er helt greit.
Multiplisere eksponenter
Hva om vi vil ha to vekstsykluser rygg-til-rygg? La oss si at vi bruker maskinen i 2 sekunder, og deretter bruker den i 3 sekunder med nøyaktig samme kraft:
Tenk på den vanlige mikrobølgeovnen din - er ikke dette det samme som en kontinuerlig syklus på 5 sekunder? Det er sikkert. Så lenge strøminnstillingen (basen) forble den samme, kan vi bare legge til tiden:
Igjen, expand-o-tron gir oss enSkaleringsfaktorfor å endre nummeret vårt. For å få den totale effekten fra to påfølgende bruk, multipliserer vi bare skaleringsfaktorene sammen.
Kvadratrøtter
La oss fortsette. La oss si at vi er på effektnivå a og vokser i 3 sekunder:
Ikke værst. Hvordan ville det se ut å vokse i halve tiden? Det vil være 1,5 sekunder:
Hva ville skje hvis vi gjorde det to ganger?
Når vi ser på denne ligningen, ser vi at "delvis vekst" er kvadratroten av full vekst! Hvis vi deler opptidpå halvparten får vikvadratrotSkaleringsfaktor. Og hvis vi deler tiden i tredjedeler?
Og vi får kuberoten! For meg er dette enintuitivgrunn til at deling av eksponentene gir røtter: vi deler tiden i like mengder, så hver "delvekst"-periode må ha samme effekt. Hvis tre identiske effekter multipliseres sammen, betyr det at hver av dem er en terningrot.
Negative eksponenter
Nå er vi i gang – hva betyr en negativ eksponent? Negative sekunder betyr å gå tilbake i tid! Hvis det å gå fremover vokser med en skaleringsfaktor, bør det å gå bakover krympe av det.
Setningen betyr "for 1 sekund siden var vi på halvparten av vårt nåværende beløp (1/2^1)". Faktisk er dette en fin del av enhver eksponentiell graf, som 2^x:
Velg et punkt som 3,5 sekunder (2^3,5 = 11,3). Ett sekund i fremtiden vil vi være på det dobbelte av vårt nåværende beløp (2^4,5 = 22,5). For ett sekund siden var vi på halvparten av beløpet vårt (2^2,5 = 5,65).
Dette fungerer for alle tall! Uansett hvor 1 million er, var vi på 500 000 ett sekund før det. Prøv det nedenfor:
Tar den nullte makten
La oss nå prøve de vanskelige tingene: hva betyr 3^0? Vel, vi stiller inn maskinen for 3x vekst, og bruker den til...null sekunder. Null sekunder betyr at vi ikke engang bruker maskinen!
Våre nye og gamle verdier er de samme (ny = gammel), så skaleringsfaktoren er 1. Å bruke 0 som tid (kraft) betyr at det ikke er noen endring i det hele tatt. Skaleringsfaktoren er alltid 1.
Tar null som base
Hvordan tolker vi 0^x? Vel, vekstbeløpet vårt er "0x" - etter et sekund sletter expand-o-tron tallet og snur det til null. Men hvis vi har slettet tallet etter 1 sekund, betyr det virkelig at enhver tid vil ødelegge tallet:
0^(1/n) = n-te rot av 0^1 = n-te rot av 0 = 0
Uansett hvilken liten makt vi hever den til, vil den være detnoenroten av 0.
Null til null potens
Endelig den fryktede 0^0. Hva betyr det?
Expansion-o-tronen til unnsetning: 0^0 betyr en 0x vekst i 0 sekunder!
Selv om viplanlagtved å slette nummeret brukte vi aldri maskinen. Ingen bruk betyr ny = gammel, og skaleringsfaktoren er 1. 0^0 = 1 * 0^0 = 1 * 1 = 1 — det endrer ikke vårt opprinnelige tall. Mysteriet løst!
(For matte-nerdene: Å definere 0^0 som 1 får mange teoremer til å fungere problemfritt. I virkeligheten avhenger 0^0 av scenariet (kontinuerlig eller diskret) og er under debatt. Mikrobølgeanalogien handler ikke om strenghet – den hjelper meg se hvorfor detkunnevære 1, på en måte som "gjentatt telling" ikke gjør.)
Her er hva som skjer når vi prøver å koble inn faktiske tall:
Avansert: Gjentatte eksponenter (a til b til c)
Gjentatte eksponenter er vanskelige. Hva gjør
mener? Det er "gjentatt multiplikasjon, gjentatt" - en annen måte å si "gjør den eksponenttingen en gang, og gjør det igjen". La oss dissekere det:
- Først vil jeg vokse ved å doble hvert sekund: gjør det i 3 sekunder (2^3)
- Så, uansett hva tallet mitt er (8x), vil jeg vokse meddet nye beløpeti 4 sekunder (8^4)
Den første eksponenten (^3) vet bare å ta «2″ og vokse den av seg selv 3 ganger. Den neste eksponenten (^4) vet bare å ta den forrige mengden (8) og vokse den av seg selv 4 ganger. Hver tidsenhet i "Fase II" er det samme som å gjenta hele fase I:
Det er her den gjentatte telletolkningen hjelper oss å finne ut. Men så tar vi frem expand-o-tronen: vi vokser i 3 sekunder i fase I, og gjør det om i 4 sekunder til. Det fungerer for brøkpotenser - for eksempel,
betyr "Voks i 3,1 sekunder, og bruk den nye veksthastigheten i 4,2 sekunder". Vi kan slå sammen tiden (3,1 × 4,2) slik:
Det er annerledes, så prøv noen eksempler:
- (2^1)^x betyr "Voks ved 2 i 1 sekund, og 'gjør den veksten' i x sekunder til".
- 7 = (7^0.5)^2 betyr "Vi kan hoppe til 7 på en gang. Eller vi kan planlegge å vokse til 7, men bare bruke halve tiden ($\sqrt{7}$). Men vi kan gjøre den prosessen i 2 sekunder, noe som gir oss hele beløpet ($\sqrt{7}^2 = 7$).»
Vi er som barn som lærer det 3 ganger 7 = 7 ganger 3. (Eller deta% av b = b% av a- det er sant!).
Avansert: Omskriving av eksponenter for dyrkeren
Expand-o-tron er litt merkelig: tall begynner å vokse i det øyeblikket de er inne, men vi spesifiserer ønsket vekst påsluttav hvert sekund.
Vi sier vi ønsker 2x vekst påsluttav det første sekundet. Men hvordan vet vi hvilken rate vi skal starte med? Hvor raskt bør vi vokse med 0,5 sekunder? Det kan ikke være hele beløpet, ellers overskrider vi målet vårt som rentesammensetninger.
Her er nøkkelen:Vekstkurver skrevet som 2^x er fra observatørens synspunkt, ikke dyrkeren.
Verdien "2" måles vedsluttav intervallet og vi jobber bakover for å lage eksponenten. Dette er praktisk for oss, men ikke den økende mengden - bakterier, radioaktive elementer og penger bryr seg ikke om å stille opp med sluttintervallene våre!
Nei, disse dyrene kjenner sittnåværende, øyeblikkelig veksthastighet, og ikke prøv å tilpasse det til våre grenser. Det er akkurat som å forståradianer vs. grader- Radianer er "naturlige" fordi de måles fra flyttemannens synspunkt.
For å komme inn i dyrkerens synspunkt bruker vimagisk tall e. Det er mye mer å si, men vi kan konvertere enhver "observatørfokusert" formel som 2^x til en "dyrkerfokusert" en:
I dette tilfellet er ln(2) = .693 = 69.3 % den momentane veksthastigheten som trengs for å se ut som 2^x for en observatør. Når du skriver inn "2x vekst ved slutten av hver periode", vet expand-o-tron å øke antallet med en hastighet på 69,3 %.
Vi lagrer disse detaljene til en annen dag - bare husk forskjellen mellom dyrkerens øyeblikkelige veksthastighet (som bakterien kontrollerer) og observatørens diagram som måles på slutten av hvert intervall. Under det hele er hver eksponentiell kurve en skalert versjon av e^x:
Hver eksponent er en variant av e, akkurat som hvert tall er en skalert versjon av 1.
Hvorfor bruke denne analogien?
Finnes expand-o-tron? Samler tallene seg på en linje? Nei – de er måter å se verden på.
Expansion-o-tronen fjerner de mentale hikkene når du ser 2^1,5 eller til og med 0^0: det er bare 0x vekst i 0 sekunder, noe som ikke endrer tallet. Alt fra lysbilderegler til Eulers formel begynner å klikke når vi gjenkjenner kjernetemaet for vekst – selv beist som i^i kan temmes.
Venner lar ikke venner tenke på eksponenter som gjentatt multiplikasjon. Glad matematikk.
Andre innlegg i denne serien
- Avmystifisere den naturlige logaritmen (ln)
- En visuell guide til enkle, sammensatte og kontinuerlige renter
- Vanlige definisjoner av e (farget)
- Forstå eksponenter (Hvorfor er 0^0 = 1?)
- Bruke logaritmer i den virkelige verden
- Hvordan tenke med eksponenter og logaritmer
- Forstå diskret vs. kontinuerlig vekst
- Hva betyr egentlig en eksponent?
- Spørsmål: Hvorfor er e spesiell? (2.718..., ikke 2, 3.7 eller et annet tall?)