Er dette slutten for 0,999... = 1?
I denne artikkelen vil vi undersøke fordelene og ulempene ved de åtte hovedargumentene som hevdes å vise at 0,999... = 1. De første syv argumentene eksisterte før grensetilnærmingen til reelle tall ble unnfanget, og slik spiller det moderne konseptet med reelle tall. ingen del i deres påstander om gyldighet.
Det var i 16thårhundre da Simon Stevin skapte grunnlaget for moderne desimalnotasjon der han tillot en faktisk uendelighet av sifre. Men det var ikke før tidlig på 19thårhundre at grenser og konvergens ble introdusert. Den opprinnelige ideen bak uendelige desimaler var at de var summen av deres rasjonelle deler.
ARGUMENT 1:Bevis som antar 1/3=0,333… eller 1/9=0,111… osv.
Et vanlig argument er at siden 1/3 = 0,333... så kan vi ganske enkelt gange begge sider med 3 for å få 1 = 0,999... Dette argumentet krever at vi starter med å akseptere at 1/3 er lik 0,333... Men vi kan ikke starte med å anta en rasjonal kan være lik en gjentatt desimal fordi det er nettopp dette vi trenger å bevise.
ARGUMENT 2:Påstanden om at kort/lang divisjon beviser 1 ÷ 3 = 0,333...
Når vi gjør kort/lang divisjon for 1 ÷ 3 følger vi en algoritme som gjentar seg. Vi ser snart at trenden er et lengre (men endelig) antall desimaler og en mindre (men alltid ikke-null) rest. Så den langsiktige trenden er en veldig lang desimal og en veldig liten rest som ikke er null.
Den langsiktige trenden er ikke "uendelig mange" sifre med null rest. Inkludering av flere desimaler "nærmer seg på ingen måte uendelig". Uendelig er tilsynelatende ikke et stort tall, så vi kan ikke nærme oss det. Hvis noe blir større, lengre, mindre eller kortere, kommer ingen av disse nærmere eller lenger bort fra det mystiske konseptet som kalles "uendelighet".
Hvis vi tenker på 0,333… som 3/10 + 3/100 + 3/1000 + … så er summen opp til det n-te leddet 1/3–1/(3*10n) og så dette er mindre enn 1/3 for alle n. Dette betyr at nthsum er en avstand som ikke er null fra 1/3.
Dette gjelder for ALLE termene i 0.333... Siden ingen term MULIG KAN EKSISTERE der 1/3 er nådd, og siden 0.333... ikke er mer enn termene, kan den ikke være lik 1/3.
På samme måte er det n-te leddet i 0.999... en avstand som ikke er null fra 1. Dette gjelder ALLE leddene i 0.999... Siden ingen term MULIG KAN EKSISTERE der 1 er nådd, og siden 0.999... ikke er noe mer enn dens termer, det kan ikke være lik 1.
ARGUMENT 3:Argumentet om at det ikke er noe tall mellom dem, så de må være like.
Hvis vi sier 0,999... er serien som har en n-te sum på 1–1/10n, og 1 er serien som har den n'te summen av 1–(0*n), så kan vi enkelt finne en serie halvveis mellom 0,999... og 1, som er serien med den n'te summen:
1 — (0.5)(0.1)n
Det er med andre ord serien 95/100 + 45/1000 + 45/10000 + 45/100000 +...
Og så hvis en serie er et "tall", er det lett å finne så mange vi vil mellom 0,999 ... og 1.
Legg merke til at begge seriene som tilsvarer 1.000... og 0.999... tilfeldigvis kan representeres med desimalnotasjon, og denne halvveisserien kan ikke, men det er fortsatt et gyldig tall hvis 0.999... er et tall. Vi kan ikke påstå at noen serier vi finner (mellom 0,999... og 1,000...) må være numerisk lik 1, fordi det ville bety at vår startposisjon er at 0,999... allerede er lik 1.
MERK: Dette er også grunnlaget for det første såkalte formelle beviset som du finner på Wikipedia-siden for '0.999...'. Det beviser visstnok 0,999... = 1 ved å vise at "1 er det minste tallet som ikke er mindre enn alle 0.(9)n". Den hevder at:
0 <= 1 — x <= 1/(10n) for ethvert positivt heltall n
Så konkluderer den: "Dette innebærer at forskjellen mellom 1 og x er mindre enn inversen til et positivt heltall. Derfor må denne forskjellen være null, og dermed x = 1; det vil si 0,999… = 1”.
Men dette argumentet bruker trikset med å la 0,999... spesifiseres i form av nthsum mens x IKKE er tillatt å spesifiseres i form av nthsum. Hvis vi lar x være en serie som 95/100 + 45/1000 + 45/10000 + 45/100000 + … og hvis vi har lov til å bruke nthsum på samme måte som beviset bruker nthsummen av 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …, så kan vi finne så mange ‘tall’ vi vil mellom 0,999… og 1.
La for eksempel x = 95/100 + 45/1000 + 45/10000 + 45/100000 + … Ved å bruke denne serien har vi nthsummen av x er 1–0,5/(10n) som alltid vil produsere en verdi hvor nthsummen av x er alltid halvveis mellom 0,999... og 1. Her har vi:
0 <= 1 — [ 1–0,5/(10n) ] <= 1/(10n) for ethvert positivt heltall n
Dette forenkler til:
0 <= 0,5/(10n) <= 1/(10n) for ethvert positivt heltall n
Og vi kan se at dette GJELDER for ethvert positivt heltall n. Dette beviser at hvis vi tillater at x behandles på samme måte som 0,999... så er det en endeløs mengde "tall" mellom 0,999... og 1. Faktisk, ved å vurdere nthsum, det eneste vi kan bevise er ulikhet. Deretterthsummen av 0.(9)n vil aldri være lik nthsum av 1.(0)n og derfor kan disse to ikke være like.
Kanskje beviset på Wikipedia-siden ikke skal fungere der x er en serie. Kanskje det bare er ment å forholde seg til desimalrepresentasjoner der n er n'te desimal. I så fall kan vi innvende at vi ikke kan anta at alle rasjonaler (eller summer av rasjonaler) kan representeres med en desimalrepresentasjon. Det ville være å anta ting som 1/3 er lik 0,333 ... og dette er nøyaktig ekvivalent med det vi trenger å bevise.
De fleste matematikere ser ut til å akseptere det mangelfulle beviset på Wikipedia-siden. Dette kan være fordi de ikke gidder å lete etter en feil på grunnlag av at de allerede tror at det som visstnok er bevist å være sant, faktisk er sant.
ARGUMENT 4:Hvis vi trekker 0,999... fra 1 får vi null
Dette er en variant av det forrige argumentet, og vi kan bruke samme logikk for å tilbakevise påstanden. Det vil si at vi jobber med delsum-uttrykkene for å finne svaret.
Hvis vi sier 0,999... er serien som har en nthsum av 1–1/10n, og 1 er serien som har den n-te summen av 1–0nså når vi trekker 0,999... fra 1 får vi serien 0 + 1/10n
Det er med andre ord serien 1/10–9/100–9/1000–9/10000 — …
Og så hvis en serie som 0,999... er et gyldig tall, så er dette svaret like mye et gyldig tall.
Vi kan ikke påstå at denne serien må være numerisk lik 0, fordi det ville bety at vår startposisjon er at 0,999... allerede er lik 1.
ARGUMENT 5:0,999… blir uendelig nær 1, så det er faktisk det samme.
For å komme «uendelig nær» (hva nå enn det betyr) må det eksistere et begrep i serien, hvorpå delsummen endres fra å være en endelig avstand fra 1 til å være «uendelig nær». Med andre ord, et rasjonelt tall må eksistere der en tidel av verdien er en infinitesimal. Dette er ikke mulig.
ARGUMENT 6:Argumentet om at formelen for summen av en geometrisk serie beviser 0,999... = 1
Argumentet går slik: summen av en uendelig geometrisk serie med første ledd 'a' og felles forhold 'r' er a/(1 — r). Denne formelen beviser 0,999… = 1
Dette argumentet skaper inntrykk av at a/(1 — r) er en magisk formel for å legge sammen uendelig mange termer som ikke er null. Men summen til n'te ledd er k — krnhvor k = a/(1 — r). Så formelen som brukes i det såkalte beviset er den konstante delen (k) av delsumuttrykket, ikke tillegget av alle 'uendelig mange' av serieleddene.
Faktisk, som nevnt tidligere, må summen til ethvert ledd alltid være mindre enn k. Dette gjelder for ALLE vilkårene, og siden 0,999... ikke er noe mer enn vilkårene, kan det ikke tilsvare 1.
ARGUMENT 7:Det såkalte algebraiske beviset på at 0,999… = 1
Bevisforsøket går slik:
x = 0,999…
Det følger at:
10x — x = 9,999… — 0,999…
Og siden dette ser ut til å forenkle til
9x = 9
det ser ut til å bevise at 0,999... er lik én.
Men dette '9x = 9' er et ugyldig resultat. Trikset som brukes for å få frem denne illusjonen er å feiljustere serien og deretter hevde at alle etterfølgende termer vil kanselleres, som vist her:
10x = 90/10 + 90/100 + 90/1000 + …
x = 9/10 + 9/100 + 9/1000 + …
Som vist ovenfor, er trikset feiljusteringen av begrepene (begrepene i 'x ='-linjen ovenfor er forskjøvet ett sted til høyre). En slik feiljustering er ugyldig fordi hvis den var gyldig kunne vi bevise 0=1 ved å ta 1+1+1+... bort fra seg selv (prøv det selv). Hvis vi justerer serien riktig, får vi dette resultatet:
10x — x = 81/10 + 81/100 + 81/1000 +…
En annen måte å forstå hvorfor feiljusteringen er ugyldig, er å tenke på 0,999... som serien 9/10 + 9/100 + 9/1000 +... Hvis vi multipliserer denne serien med en faktor på ti, endrer vi ikke antallet vilkår; vi har de samme begrepene (i form av en-til-en-korrespondanse) som vi startet med, bare nå er hvert begrep ti ganger sin opprinnelige verdi.
Subtraksjonen 9,999… — 0,999… kan ikke oppheve alle de etterfølgende leddene med mindre dette en-til-en-forholdet (mellom originalen og den multipliserte serien) på en eller annen måte brytes, og vi får et ekstra ledd ut av ingenting.
Enda en måte å vise at dette algebraiske beviset er ugyldig er å vurdere den generelle formelen for en geometrisk serie, G, med første ledd 'a' og felles forhold 'r':
G = a + ar + ar² + ar³ +…
Nå er 0,999… den geometriske serien med a=0,9 og r=0,1. Spørsmålet er kan vi gange med 1/r, for så å trekke fra det vi startet med på samme måte som vi gjorde i det opprinnelige argumentet da vi visstnok endte opp med 9x = 9?
(1/r — 1)G = [a/r + a + ar + ar² +…] — [a + ar + ar² + ar³ +… ]
Hvis vi antar at alle samsvarende vilkår kanselleres (til "uendelig"), forenkler dette til:
(1/r — 1)G = a/r
Ovennevnte bør gjelde for alle geometriske serier, både konvergerende og divergerende, fordi ingen av manipulasjonene avhenger av verdiene til variablene. Så hvis vi kan finne noen verdier for variablene 'a' og 'r' der utsagnet ovenfor danner en selvmotsigelse, vil vi ha vist vår antakelse om at alle etterfølgende termer kansellerte var en feil.
Verdiene a=1 og r=1 gjør at setningen ovenfor vurderes til 0 = 1, og derfor må det algebraiske beviset for 0,999... = 1 være ugyldig.
ARGUMENT 8:Argumentet om at 0,999... er lik 1 fordi de begge er "reelle tall" og 1 er grensen for sekvensen 0,9, 0,99, 0,999,...
Dette "reelle tall"-argumentet er det som favoriseres av de fleste vanlige matematikere, og det krever mye innsats å forstå. Det er vanskelig å forstå fordi notasjonen som brukes for å betegne et "reelt tall" skal tolkes som et symbol som refererer til et uendelig sett som inneholder uendelig mange sekvenser som alle er uendelig lange. Få hodet rundt det!
[Mer spesifikt er den mest populære tilnærmingen til å definere reelle tall som "en ekvivalensklasse av rasjonelle Cauchy-sekvenser". Med andre ord er et reelt tall definert som en beholder med uendelig mange sekvenser, som hver er uendelig lang, og hvor forskjellen mellom to sekvenser vil være en sekvens som tenderer mot null.]
Det krever mye fantasi fordi vi (utvilsomt) ikke virkelig kan forestille oss uendelig mange av noe, enn si uendelig mange ting som alle er uendelig lange selv. Antageligvis forestiller vi oss bare at vi kan forestille oss en slik struktur, og (uten tvil igjen) vi lurer oss selv når vi påstår at noe slikt kan eksistere.
Hvis vi aksepterer 'reelle tall' som et gyldig konsept, så er argumentet for 0,999... = 1 at begge disse desimalene refererer til den samme uhåndterlige strukturen som vi kaller 'reelt nummer én'.
Konseptet med "reelle tall" er basert på konseptet om grenser. Så for at konseptet med reelle tall skal være gyldig, må de tilhørende grenseargumentene også være gyldige. Hvis de ikke er det, er ikke begrepet "reelle tall" gyldig, og det kan ikke brukes til å hevde at 0,999... = 1. Det er ingen enkelt metode som kan brukes for å finne grensen for noen slags serier. Alt vi har er mange forskjellige konvergenstester for forskjellige tilfeller, og mange utformete metoder for å finne grenser i forskjellige tilfeller. Det er mange tilfeller av serier som vi ikke har noen anelse om hvordan vi skal finne grensen for.
Hvis 0,999… beskriver en algoritme, som å reise avstanden 0,9 etterfulgt av avstanden 0,09 og så videre, kan vi beskrive avstanden tilbakelagt etter n av disse reisene som 1- 1/(10n). Siden konstanten 1 vises i dette uttrykket, er det lett å hevde at dette er "grensen". På samme måte kan vi ha en rekke termer som vi kaller pi, bortsett fra med pi, er det ikke noe uttrykk for nthsum som inneholder en konstant. Hvis serier som 0.999… og 3.141… ikke har et siste ledd, kan den tradisjonelle summen av deres termer aldri tilsvare en konstant verdi. Av denne grunn er det uten tvil mye mer fornuftig å assosiere endeløse desimaler med endeløse algoritmer (dvs. endelige algoritmer uten endepunkt definert) i stedet for å påstå at de på en eller annen måte kan tilsvare en konstant verdi.
Så hvordan håndterer konseptet grenser ting som pi? Vel, siden det ikke er noen rasjonell verdi vi kan peke på som grensen for en pi-sekvens, er det beste vi kan gjøre å peke på de første par sifrene i desimalsekvensen etterfulgt av tre prikker og hevde at dette er pi. Alt vi kan gjøre er med andre ord å påstå at grensen for sekvensen er sekvensen i seg selv. Faktisk må vi hevde at det er sin egen grense.
Vi må da ignorere enhver kritikk som sier at det er utilstrekkelig å definere noe som å være seg selv. Vi kan ikke nå uendelig, og derfor kan vi ikke finne en konstant som vi kan peke på og si "det er pi". Pi er et eksempel på en grense som ikke kan finnes, men vi må fortsatt tro at den på en eller annen måte eksisterer. Pi er bare et navn som vi bruker for sekvenser av en bestemt type, men vi kan konstruere mange flere sekvenser der vi ikke har et spesifikt navn for dem. De er bare sekvenser hvor grensen ikke kan angis. For sekvensene som vi sier forholder seg til irrasjonelle verdier, må vi forestille oss at 'uendelig mange' sifre (eller termer) som ikke er null kan på en eller annen måte 'eksistere' og at dette på en eller annen måte vil danne en konstant verdi som vi kan kalle vår grense.
Noen ganger hevdes det at epsilon-delta-formuleringen gir standarddefinisjonen av konvergens uten å måtte gå til det uendelige. I tilfelle av 0,999 ... og dens 'grense' på 1 (eller på 0,333 ... og dens 'grense' på 1/3) går argumentet slik:
- Vi kan velge et heltall n for å gjøre summen av de første n leddene i serien (kalt 'delsum') nærmere grensen enn en gitt verdi som ikke er null.
- Det følger at det ikke er noe tall som kan plasseres mellom verdien av serien og verdien av grensen, derfor må de ha samme verdi.
I punkt (1) involverer argumentet en prosess, men i punkt (2) tolkes det forrige punktet om en prosess som å si noe meningsfylt om statiske verdier. For at dette argumentet skal holde, må vi akseptere at desimaler kan ha "uendelig mange" sifre, og disse "uendelige desimalene" har en statisk/fast verdi, samtidig som de ikke har noen siste term. Argumentet fungerer ikke uten en faktisk uendelighet av termer.
Grensekonseptets avhengighet av faktiske uendeligheter har blitt forkledd ved bruk av velvalgte ord. Imidlertid er det fortsatt sant at grenseargumentet krever en faktisk uendelighet av sifre/termer som ikke er null, ellers ville det eksistere en posisjon der epsilon-delta-argumentet ville mislykkes. Så hvis konseptet med uendelig mange termer som ikke er null fører til selvmotsigelse, er konseptet med grenser feil.
Tenk på en linje med lengde 1. Samtidig kan denne lengden også betraktes som to lengder på 0,5 koblet uten lengde mellom dem. Samtidig kan det også anses å være lengdene 0,4, 0,09, 0,009, 0,001 og 0,5 alle uten lengder mellom dem. Spørsmålet er kan det også anses å være lengdene 0,4, 0,09, 0,009, 0,0009... {uendelig mange deler} etterfulgt av 0,5? Med andre ord, dette scenariet undersøker om 0,4999... kan eksistere som en statisk verdi med uendelig mange sifre.
Siden det ikke er noen lengde mellom noen av delene, må den etterfølgende 0,5-lengden kobles til en del før den. Dermed må de ‘uendelig mange’ delene ha en ‘siste del’. Dette danner en selvmotsigelse fordi uendelig mange deler krever at det ikke er noen siste del. Dessuten, hvis vi teller delene fra venstre til høyre og starter med 0,4-lengden som "del 1", så når vi når den endelige lengden på 0,5 burde vi ha telt uendelig mange deler. Siden disse alle er statiske lengder uten lengder mellom dem, må det eksistere en posisjon der antallet endres fra en endelig verdi til en uendelig verdi. Ideen om at en endelig verdi + 1 kan være en uendelig verdi danner også en selvmotsigelse.
Så her har vi vist at begrepet uendelig mange deler fører til motsigelse. Dette forsterkes av ARGUMENT 7 der vi så at algebraisk sett kan konseptet med «uendelig mange» termer ikke føre til likhet mellom 0,999... og 1. Derfor må vi konkludere med at grenseargumentet er ugyldig. Det følger at begrepet "reelle tall" er ugyldig og kan derfor ikke brukes til å kreve 0,999... = 1.
KONKLUSJON
Det er sant at 0,999… = 1 hvis grunnlaget for ekvivalens er den konstante delen (k) av uttrykket for summen til det n-te leddet i den tilsvarende geometriske rekken (k — krn). Men dette er ikke standardgrunnlaget for ekvivalens når vi stiller spørsmålet "gjør 0,999... = 1".
Når det gjelder fordeler og ulemper, når de åtte hovedargumentene undersøkes individuelt, er alt vi ser ut til å finne ulemper. Det ser bare ut til å være tre punkter på proffsiden, som alle er måter en lekmann kan bli lurt på. For det første er det ikke umiddelbart åpenbart for den gjennomsnittlige personen hva feilen er i et gitt argument. For det andre er det så mange argumenter at selv om en person avviser ett eller to av dem, er det mye mer å falle tilbake på. For det tredje er argumentet "reelle antall / grenser" ekstremt vanskelig for lekpersonen å tilbakevise. Det er flettet sammen med de kompliserte begrepene grenser og reelle tall, som har blitt akseptert som gyldige til tross for at de fører til motsetninger.
Som vi har vist, klarer ikke alle de vanlige argumentene å bevise 0,999... = 1. Ingen av de vanlige argumentene for 0,999... = 1 ser ut til å være gyldige; Faktisk, etter at feilene er fjernet, ser mange av dem ut til å bevise at 0,999... ikke kan være lik 1, spesielt der 0,999... anses å være summen av delene.