Å dele 1/uendelig eksisterer ikke fordi uendelig ikke er et reelt tall. Vi kan imidlertid finne en måte å målrette dette problemet på som er gyldig og akseptabel. Les denne komplette veiledningen for å finne ut løsningen på dette problemet.
Hvordan løser jeg 1/Infinity?
Å løse $1/\infty$ er det samme som å løse for grensen på $1/x$ når $x$ nærmer seg uendelig, så ved å bruke definisjonen av limit, er 1 delt på uendelig lik $0$. Nå vil vi vite svaret når vi deler 1 med uendelig, betegnet som $1/\infty$, som vi vet ikke eksisterer siden det ikke finnes noe tall som er størst blant alle. Men hvis vi skal bruke definisjonen av en grense for en funksjon og evaluere funksjonen $1/x$, hvor $x$ blir større og større, vil vi se at funksjonen $1/x$ nærmer seg et bestemt tall.
Les mer Hva er 20 prosent av 50?
Følgende tabell, tabell 1, viser verdien av $1/x$ når $x$ blir større og større.
Tabell 1 viser at etter hvert som $x$ blir større og større eller etter hvert som $x$ kommer nærmere og nærmere uendelig, blir $1/x$ nærmere verdien av $0$. Vi kan bekrefte denne oppførselen ved å bruke grafen til funksjonen $1/x$.
Vi kan se fra grafen til $1/x$ at når $x$ nærmer seg uendelig, nærmer $f(x)=1/x$ seg $0$. Derfor er å løse $1/\infty$ det samme som å løse for grensen på $1/x$ når $x$ nærmer seg uendelig. Ved å bruke definisjonen av limit, er 1 delt på uendelig lik $0$.
Heretter vil vi betrakte uendelighet ikke som et reelt tall der vanlige matematiske operasjoner normalt kan utføres. I stedet, når vi jobber med ∞, bruker vi dette som en representasjon av et tall som øker uten binding. Dermed tolker vi det som hvordan en viss funksjon vil oppføre seg når verdien av x nærmer seg uendelig eller øker uten grenser. Vi skal studere noen andre operasjoner eller uttrykk som fungerer rundt det uendelige.
Hva er Infinity?
Uendelig er et matematisk konsept eller begrep som brukes for å representere et veldig stort reelt tall siden vi ikke kan finne det største reelle tallet. Merk at reelle tall er uendelige. I matematikk bruker de uendelig for å representere det største tallet blant settet med reelle tall, som vi vet ikke eksisterer. Symbolet for uendelig er $\infty$.
Viktighet i matematikk
Les mer = x^2: En detaljert forklaring pluss eksempler
Når vi snakker om det største tallet, kan vi legge merke til at vi ikke kan finne et spesifikt tall eller et naturlig tall som er større enn alle de naturlige tallene.
- $1.000.000$ er et stort tall, men vi kan finne et større tall enn dette, som er $1.000.001$.
- $1.000.000.000$ er også et stort tall, men vi kan igjen finne et tall som er større enn dette, som er $1.000.000.001$.
- $10^{1000000000000000000}$ er et veldig stort tall, likevel kan vi finne et annet større tall enn dette, vi trenger bare å legge til 1 til det, og vi har allerede et.
Så uansett hvor stort antall vi har, finnes det alltid et større tall. Siden vi aldri kan finne det største reelle tallet, bruker vi uendelig i stedet for å representere disse veldig store tallene. Derfor er uendelig ikke et reelt tall siden vi aldri vil finne det største reelle tallet.
Å dele med uendelig
Vi vet allerede at $1/\infty$ er null. Nå, for tilfellet med $2/\infty$, $0/\infty$, $-10/\infty$, eller $\infty/\infty$, vil vi fortsatt få null? Når telleren er større enn 1 eller mindre enn 1, vil uttrykket fortsatt være lik null? For de tre første uttrykkene er svaret ja. Det siste uttrykket, $\infty/\infty$, har imidlertid et annet svar, som vi skal ta tak i senere.
Les mer Hovedpolynom: Detaljert forklaring og eksempler
La oss nå prøve å løse $2/\infty$. Merk at vi kan uttrykke dette når grensen på $2/x$ når $x$ nærmer seg uendelig. Så vi har:
\begin{align*}
\dfrac{2}{\infty}&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2}{x}\\
&=\lim_{x\to\infty}\dfrac{2\cdot1}{x}\\
&=2\cdot\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}.
\end{align*}
Vi bruker den tidligere informasjonen vi samlet om at $\lim_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}$ er lik null. Dermed har vi:
\begin{align*}
\dfrac{2}{\infty}=2\cdot0=0.
\end{align*}
Derfor er $2/\infty$ også null.
På samme måte siden:
\begin{align*}
\dfrac{0}{\infty}&=0\cdot\left(\dfrac{1}{\infty}\right)\\
-\dfrac{10}{\infty}&=-10\cdot\left(\dfrac{1}{\infty}\right),
\end{align*}
da får vi at både $0/\infty$ og $-10/\infty$ også er lik null. Generelt, for ethvert reelt tall $c$,
\begin{align*}
\dfrac{c}{\infty}=0.
\end{align*}
Legg merke til at i denne generaliseringen nevnte vi at $c$ skal være et reelt tall slik at $c/\infty$ er null. Siden uendelig ikke er et reelt tall, er ikke $\infty/\infty$ lik null.
Addisjon, subtraksjon og multiplikasjon av uendeligheter
Vi kan nå begynne å bruke begrepet "ekstremt stort antall" når vi refererer til uendelighet, slik at vi bedre kan forstå hvordan vi utfører disse operasjonene med uendelig.
Legg merke til at å legge til uendelig er som å legge til veldig ekstremt store tall. Så hva skjer når vi legger til to ekstremt store tall? Vi får fortsatt et ekstremt stort antall. Dermed,
\begin{align*}
\infty +\infty =\infty.
\end{align*}
Dessuten kan multiplisering av to uendeligheter på samme måte også settes på denne måten. Hvis vi allerede har et veldig stort tall og vi tar et annet veldig stort tall, og multipliserer det med det første veldig store tallet, vil produktet også være et veldig stort tall. Altså, på samme måte,
\begin{align*}
\infty \times\infty =\infty
\end{align*}
Når vi ser på forskjellen mellom to uendeligheter, har vi to veldig ekstremt store tall. Siden disse veldig store tallene er udefinerte eller bare en representasjon av et veldig stort tall, vil vi aldri vite om de to veldig store tallene er like eller om ett av de veldig store tallene overstiger det andre. Dermed er uendelig minus uendelig udefinert.
\begin{align*}
\infty – \infty = \tekst{udefinert}
\end{align*}
Hva er uendelighet delt på uendelig?
Uendelig delt på uendelig er udefinert, noe som betyr at den ikke er lik noe reelt tall. Siden uendelig delt på uendelig definitivt ikke er lik null, kan vi svare med en gang at den er lik 1 fordi telleren og nevneren er like. I grunnleggende operasjoner vet vi at et hvilket som helst tall, bortsett fra 0, når det deles på seg selv, er lik en. Det vil si at når a er et reelt tall som ikke er null, har vi:
\begin{align*}
\dfrac{a}{a}=1.
\end{align*}
Denne regelen gjelder imidlertid ikke for $\infty/\infty$ fordi uendelig ikke er et reelt tall. Så vi finner en annen måte å vise at uendelighet delt på uendelig virkelig er udefinert. Vi bruker informasjonen vi fikk i forrige avsnitt.
Vi antar at $\infty/\infty=1$. Deretter bruker vi det faktum at $\infty+\infty=\infty$. Så vi har:
\begin{align*}
\dfrac{\infty}{\infty}&=\dfrac{\left(\infty+\infty\right)}{\infty}\\
&=\dfrac{\infty}{\infty}+\dfrac{\infty}{\infty}\\
\end{align*}
Siden $\infty/\infty=1$, bør dette være sant:
\begin{align*}
\dfrac{\infty}{\infty}&=\dfrac{\infty}{\infty}+\dfrac{\infty}{\infty}\\
1&=1+1\\
1&=2.
\end{align*}
Dette er en selvmotsigelse fordi 1 aldri vil være lik 2. Dermed er $\infty/\infty$ udefinert.
Uendelig delt på et reelt tall
I tilfellet der telleren er uendelig og nevneren er et reelt tall, si $c$, så
\begin{align*}
\dfrac{\infty}{c}=\infty.
\end{align*}
Merk at dette bare gjelder for reelle tall som ikke er null. Tenk på et veldig stort antall delt inn i endelige deler. Da er hver del eller andel fortsatt et stort tall siden det opprinnelige antallet er ekstremt stort.
Hva er 1/uendelig^2?
Uttrykket $1/\infty^2$ er lik null. Dette er fordi
\begin{align*}
\dfrac{1}{\infty^2}&=\dfrac{1}{\left(\infty\times\infty\right)}\\
&=\dfrac{1}{\infty}\\
&=0.
\end{align*}
Er 1^Uendelig = e?
Svaret på dette spørsmålet er ikke alltid. Uttrykket $1^{\infty}$ regnes som en av de ubestemte formene, noe som betyr at det vil ha forskjellige svar avhengig av hvilken situasjon det ble brukt. Legg merke til at uttrykk med uendelig kan tas som et uttrykk for å representere en grense for en bestemt funksjon der $x$ nærmer seg uendelig.
I tilfellet med grenser som vil gi en $1^{\infty}$, kan forskjellige metoder brukes for å gå videre fra denne ubestemte formen og utlede en grense for funksjonen når $x$ øker uten binding.
Evaluer e^Infinity
Ved å løse for $e^{\infty}$ får vi at dette uttrykket også er lik uendelig. Her er hvordan vi kom frem til det svaret. Merk at $e$ er et reelt tall som er større enn én. Når vi utvider $e^{\infty}$, har vi:\begin{align*}e^{\infty} = e\ ganger e\ ganger e\ ganger\dots\ ganger e\ ganger e\ ganger \dots. \end{align*}Dette betyr at $e^{\infty}$ vi multipliserer $e$ med seg selv uendelig mange ganger. Siden $e$ er større enn 1, vil potensene til $e$ bare øke uten binding ettersom potensene til $e$ blir multiplisert med e mange flere ganger. Derfor er $e^{\infty}$ lik uendelig.
Konklusjon
Uendelig er et matematisk begrep, konsept eller symbol som ofte blir skjødesløst brukt i matematiske løsninger, spesielt i grensefinnende problemer. La oss huske de viktige notatene vi lærte i denne diskusjonen.
- Uendelig er ikke et reelt tall og brukes kun som en representasjon for et ekstremt stort reelt tall.
- Å dele 1 på uendelig er lik null.
- Generelt er ethvert reelt tall delt på uendelig null, og kvotienten av reelle tall som ikke er null som deler uendelig er uendelig.
- Summen og produktet av to uendeligheter er lik uendelig, mens forskjellen og kvotienten av to uendeligheter er udefinerte.
- $1^{\infty}$ er en ubestemt form.
I denne artikkelen definerte vi uendelighet på en klarere måte og brukte den til å utføre operasjoner og evaluere uttrykk med uendeligheter.
FAQs
Hvad sker der hvis man dividerer et tal med et tal som er 1 men 0? ›
Vi kan sige, 1 divideret med 0 er positiv uendelig.
Hvad giver divideret med? ›At dividere betyder, at man deler et tal i lige store dele. Tallet man dividerer med, bestemmer hvor mange dele tallet skal deles i. Division er desuden det omvendte af at gange.
Hvad er forskellen på 1 3 og 0 3? ›0,33 er 1/3 skrevet som decimaltal afrundet til 2 decimaler.
Hvordan dividere man en brøk med et tal? ›Dividere tal med brøk
Når man skal dividere et tal med en brøk, så vender man brøken om og ganger tallet på i (den nye) tæller. 8:192=8⋅219=8⋅219=1619. Igen kan vi omskrive tallet til en brøk med 1 i nævneren, og så er også denne regel den samme som division af brøk med brøk.
HUSKEREGEL. Hvis man ganger mange tal sammen er en god huskeregel, at hvis der er et lige (0, 2, 4, 6, ) antal negative tal, så bliver svaret positivt, og hvis der er et ulige (1, 3, 5, 7, ) antal negative tal, så bliver svaret negativt.
Er 1 4 mindre end 1 2? ›1/2. Det er tydeligt, at 1/4 er mindre end 1/2.
Hvad er 100 divideret? ›At finde en hundrededel svarer til at dividere med 100, og det svarer igen til at rykke kommaet to pladser til venstre.
Hvorfor skal jeg dividere med 100? ›Hvis man skal finde en procentdel af et tal, kan man starte med at dividere tallet med 100. Det gør man, fordi procent betyder hundrededele og hvis man dividerer tallet med 100, har man én hundrededel af tallet. Herefter ganger man med procenttallet og får dermed resultatet.
Hvad bliver plus og minus til? ›Hvis man ganger et positivt og et negativt tal, bliver resultatet altså negativt.
Hvordan løser man en brøk? ›Plus og minus
Når man skal lægge to brøker sammen, så skal man blot lægge deres to tællere sammen.
Hvad er en brøk 4 klasse? ›
Brøker er tal, som du kan bruge til at beskrive en del af en helhed. Brøker kan også bruges til at beskrive tal, der ligger mellem to hele tal. I hverdagen taler vi fx om 'en halv' og 'en kvart', når vi fx skal dele et stykke frugt, en skive rugbrød eller en pizza.
Hvordan dividere man blandede tal? ›Fra blandet tal til brøk
Hvis man vil omskrive et blandet tal til en brøk, så kan man ”forlænge” det hele tal med nævneren. Dvs. man laver en ny brøk, hvor man skriver nævneren fra den gamle brøk i nævneren og det hele tal ganget med den gamle nævner i tælleren. Derefter lægger man den nye brøk sammen med den gamle.
Lær hvorfor 50%, 1/2 og 0,5 betyder præcis det samme.
Hvordan skriver man 1 tredjedel? ›1/3, 2/3, 1/8, 3/8, 5/8 og 7/8.
Hvorfor får man minus 3? ›Bestået/ikke bestået
Eleven/den studerende er ikke bestået, når hun/han får karakteren: 00 eller -3.
Hvis man tilføjer ordet 'ikke' til en 'positiv' sætning får sætningen den omvendte, negative, mening. Men hvis man tilførjer 'ikke' to gange får man det omvendte af det omvendte, altså tilbage til den positive sætning.
Er nul et positivt tal? ›Tallet 0 tillader os at betragte "ingenting" (fx resultatet af 6-(2∙3)) som et tal på linje med de negative heltal, ..., -3, -2 og -1, og de tilsvarende positive heltal (kaldet de naturlige tal) 1, 2, 3, ...; tallet nul selv betragtes hverken som et negativt eller et positivt tal.
Hvilket tal har ikke et omvendt tal? ›Alle tal undtagen nul har en reciprok værdi. Den reciprokke af den reciprokke er tallet selv. Et eksempel på to tal, som er hinandens reciprokke, er 2.5 og 0.4.
Er 1 et helt tal? ›Heltal er de positive og negative hele tal samt tallet nul, altså talrækken ...,−n,..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ..., n,... . I matematikken betegnes denne talmængde Z, efter tysk Zahlen.
Hvad er 1 6 det samme som? ›1/6, kan ”dækkes” med stambrøken 1/7 + en stambrøk, hvor nævneren er det første tal, som kan deles med både 6 og 7. Det er 42. Derfor er 1/6 det samme som 1/7 + 1/42. Hvis du går ned ad i talrækken 1/6 = 1/5 - 1/30, skal det første tal, der er deleligt med både 5 og 6 trækkes fra den mindre brøk.
Hvordan finder man 1 3? ›
Man finder 1/3 af noget ved at dividere dette noget med 3.
Kan man dele med 0? ›1 Svar. Grunden til, at man ikke kan dividere et tal med 0, er, at resultatet så ville blive uendeligt stort.
Hvad er 2 ud af 3 i procent? ›Eksempel: hvad er 2/3 i procent
Vi har derfor kun metode 2. 0,667 · 100 = 66,7, så procenten bliver 66,7 %.
repræsenterer således 2 : 3, der udtrykt som decimalbrøk er ca. 0,6667 – dette tal kan faktisk ikke skrives helt præcist som et decimaltal, så brøker er nyttige hvis man ønsker at beregne noget helt eksakt.
Hvordan trækker man 20% fra et beløb? ›De 20 kr. er 20% af de 100 kr. Så når du skal trække momsen fra på et beløb med moms, så skal du altså kun trække 20% fra: 100 kr. * (1 – 0,20) = 80 kr.
Hvor mange procent er 30 ud af 100? ›Du tager blot det ene tal og dividerer med det andet tal. Derefter ganger du resultatet med 100 – også har du faktisk den andel i procent som det ene tal udgør af det andet.
Hvor mange procent er 25 kroner ud af 125 kroner? ›Eksempler: 13% = 13/100 = 0,13 47% = 47/100 = 0,47 223% = 223/100 = 2,23 BEMÆRK: Procenter laves om til decimalbrøker ved at flytte kommaet to pladser til venstre. 0,88 = 88/100 = 88% 1,25 = 125/100 = 125% BEMÆRK: Decimalbrøker laves om til procenter ved at flytte kommaet to pladser til højre.
Hvad er de 4 regningsarter? ›Plus, minus, division og gange, er grundstene for matematikundervisning, og ethvert barn kan fortælle, at de ikke altid er nemme.
Hvad kommer først gange eller dividere? ›Tre regler for at regne i den rigtige rækkefølge
1) Hvis der er parenteser, udregnes de først. 2) Herefter skal man gange og dividere fra venstre mod højre. 3) Til sidst regner man plus og minus fra venstre mod højre.
De fire regneoperationer eller regningsarter er plus, minus, gange og dividere, og de skrives henholdsvis +, −, ⋅ og : (eller /). Alle fire regningsoperationer involverer to tal (operander), og operationen (operatoren) skrives mellem de to tal.
Hvor meget er 3 4 dele? ›
75% er 75 dele af 100. Det kan også udtrykkes som 3/4 - altså 3 dele af en helhed på 4. Det er vigtigt, at du ser på både procenttallet og brøken som en del af en helhed. Hvor stor eller lille denne helhed er, er helt ligegyldigt.
Hvad er det halve af 3 4? ›Går ud fra, at der skal stå et usynligt + mellem 1 og 3/4 (folkeskolen har for vane at skrive de her opgaver op på en dårlig måde): 1+(3/4) = (4/4) + (3/4) = 7/4. Halvdelen af 1 3/4 er jo det samme som at gange med 1/2.
Hvad er 3 7 i procent? ›3/7 er altså det samme som 42,86 % i procent.
Kan der godt være komma i en brøk? ›En brøk kaldes indenfor matematikken for et "rationelt tal". Alle kommatal der kan skrives som en brøk (f. eks. 0,33, 0,5, 0,125, 0,1 osv) hører under denne kategori.
Hvordan omskriver man til brøk? ›For at omskrive et decimaltal til en brøk, skal vi skrive decimaltallet i tælleren (uden foranstående nuller), og vi skriver dets pladsværdi i nævneren. Hvis der er et ciffer til venstre for kommaet, beholder vi det tal som det hele tal.
Hvad hedder det øverste tal i en brøk? ›Det øverste tal kalder vi tælleren, det nederste nævneren og stregen hedder en brøkstreg.
Hvad er et blandet tal? ›Et blandet tal er et tal, som består af et helt tal og en ægte brøk.
Hvad er en tæller og nævner? ›Tallet under brøkstregen kaldes nævneren, og tallet over brøkstregen kaldes tælleren. Regner man brøken ud, kaldes resultatet for kvotienten.
Hvordan ganger man dividere med hele tal? ›- gang brøkens nævner med det hele tal.
- divider brøkens tæller med det hele tal.
I den normale atematik har man vedtaget at det er 1. Man kunne selvfølgelig også have vedtaget noget andet, og argumentet om at alle alle tal i 0 potens er 1, duer ikke. Man kunne lige såvel sige at 0 i en vilkårlig potens skal være 0. Et hvilken som helst tal opløftet til 0'te potens er lig 1.
Hvad sker der når man ganger med 0? ›
Hvis vi skal gange et tal med noget og få 0, er vi nødt til at gange med 0. er det klart, at enten må x eller y være lig med 0(ellers skal de begge to være 0). Det er det, vi kalder nulreglen. Med ord siger vi: "Hvis et produkt skal være lig med 0, skal mindst en af faktorerne være lig med 0".
Hvilket tal skal først når man dividere? ›Tre regler for at regne i den rigtige rækkefølge
Her kommer tre regler for, hvordan man skal regne: 1) Hvis der er parenteser, udregnes de først. 2) Herefter skal man gange og dividere fra venstre mod højre. 3) Til sidst regner man plus og minus fra venstre mod højre.
Tallet 0 tillader os at betragte "ingenting" (fx resultatet af 6-(2∙3)) som et tal på linje med de negative heltal, ..., -3, -2 og -1, og de tilsvarende positive heltal (kaldet de naturlige tal) 1, 2, 3, ...; tallet nul selv betragtes hverken som et negativt eller et positivt tal.