Las series infinitas provienen del hecho de que queremos saber cómo se comporta la suma de una serie cuando los términos son infinitos. Podemos escribir cualquier serie que veamos en su forma de serie infinita, por lo que no sorprende que las series infinitas tengan física, biología e ingeniería.
Las series infinitas representan la suma sucesiva de una secuencia de un número infinito de términos que están relacionados entre sí según un patrón o relación dada.
¿No es sorprendente cómo, gracias al progreso de las matemáticas, ahora nos es posible predecir la suma de una serie formada por un número infinito de términos?
Este artículo discutirá esta serie y mostrará cómo podemos predecir la suma y la suma parcial de varias series infinitas. Para aprovechar al máximo nuestra discusión, asegúrese de revisar también los siguientes temas:
Hemos discutido la secuencia regular y la serie antes, incluyendoaritmética,geométrico, yarmoniososerie
Delas propiedades de los limitesy las técnicas enpara evaluar los límites.
¿Por qué no empezamos por entender los componentes de la serie infinita?
¿Qué es una serie infinita?
Como dice nuestra introducción, representa series infinitasla suma del número infinito de términos formados por una secuencia.A continuación se muestran ejemplos de series infinitas:
\begin{alineado}\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{10} + … \end{alineado}
Este es un ejemplo de una serie armónica infinita, donde el denominador aumenta $2$ a medida que aumenta la serie.
\begin{alineado}3 + 9 + 27 + 81 + 243 + … \end{alineado}
Este es un ejemplo de una serie geométrica infinita, donde el siguiente término se determina multiplicando $3$ por el término anterior.
Estos ejemplos nos dan una idea de lo que constituye una serie infinita, así que avancemos y definamos formalmente una serie infinita. En la siguiente sección aprenderemos a expresarlos en forma de notación sigma.
Definición de serie infinita
Digamos que tenemos una secuencia finita que consta de términos $\{a_1, a_2, …, a_{n-1}, a_n\}$, por lo que la suma de su secuencia finita se puede expresar como $a_1+a_2+ …+ a_ { n-1}+ a_n$.
La única diferencia para las series infinitas es que los términos se extienden más allá de $a_n$, por lo que la serie infinita tendrá la forma $a_1 + a_2 + a_3 + …$ o $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n $ .
Enumeremos algunos ejemplos de series finitas e infinitas para comprender mejor qué hace que las series infinitas sean únicas.
Serie finita | Series infinitas |
$2 + 4 + 6 + 8 +… 40 = \sum\limits_{n = 1}^{20} 2n$ | $2 + 4 + 6 + 8 +… = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} 2n$ |
$5 + 9 + 13 + 17 +… 45 = \sum\limits_{n = 1}^{10} 4n + 1$ | $ 5 + 9 + 13 + 17 +… = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} 4n + 1$ |
$1 + 2 + 4 + 8 +… 1024 = \sum\limits_{n = 1}^{20} 2^{n-1}$ | $1 + 2 + 4 + 8 +… = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} 2^{n-1}$ |
$\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{81} +... \dfrac{1}{3^50} = \sum\limits_{n = 1}^{ 50} \dfrac{1}{3}^{n}$ | $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{27} + \dfrac{81} +... = \sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{3 }^ {n}$ |
Estos ejemplos muestran claramente la principal diferencia entre una serie infinita y una serie finita.
De estos podemos ver claramente que lo único que distingue a las series infinitas es que los términos son infinitos.
¿Cómo encontrar la suma de una serie infinita?
Al principio, puede parecer contradictorio pensar que podemos predecir la suma de una serie infinita. Pero gracias a los límites y el cálculo, podemos crear un proceso sistemático para encontrar la suma de una serie infinita dada.
Pero primero, echemos un vistazo a esta representación visual de una serie geométrica infinita.
Este es un buen ejemplo de cómo podemos encontrar la suma de series infinitas. Eso es porque a medida que agregamos más términos (tome la mitad del área anterior), veremos que cuando se combinan en total,el área total del área sombreada ocupará casi toda el área del cuadrado.
¿Alguna suposición sobre la suma de la serie infinita, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} \dfrac{1}{2^n}$, entonces? Visualmente, dado que las regiones finalmente formarán el cuadrado completo, la suma de la serie infinita es $1$.
Pero, ¿cómo confirmamos esto matemáticamente? Antes de sumergirnos en el proceso de determinar la suma de series infinitas, averigüemos cómo encontrar la suma de cierta parte de una serie infinita dada.
¿Cómo encontrar la suma parcial de series infinitas?
Desuma parcialde una serie infinita es bastante simplela suma de cierto número de términos de la serie. Por ejemplo, la serie $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8}$ es simplemente parte de la serie infinita, $\dfrac{1}{2 } + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + …$.
Esto significa que la suma parcial de los tres primeros términos de la serie infinita que se muestra arriba es igual a $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} = \dfrac {7} {8}$.
Aquí hay algunas fórmulas útiles que pueden serle útiles cuando trabaje con la subsuma de una serie dada.
En otras palabras, podemos usar las propiedades que hemos aprendido sobre las series finitas ordinarias para encontrar ciertas sumas parciales.
nombre de la serie | Expresión | Suma |
Aritmética | $\sum\limits_{i = 1}^{n} a + (n – 1)d $ | $\dfrac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ |
Extraño | $\sum\limits_{i = 1}^{n} 2n – 1$ | $n^2$ |
Geométrico | $\sum\limits_{i = 1}^{n} a r^{n – 1}$ | $\dfrac{a(1 – r^n)}{1 – r}$ |
Espacio posterior | $\sum\limits_{i = 1}^{n} n^2$ | $\dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ |
Cómo encontrar la suma de la serie infinitabasado en el subtotal?
Quizás se pregunte por qué estamos hablando de sumas parciales cuando se supone que estamos tratando con sumas de series infinitas. Eso es porque cuando queremos encontrar la suma de una serie infinita, necesitamos la expresión de su suma parcial.
Digamos que tenemos una serie infinita, $\sum\limits_{i = 1}^{\infty} a_i = S$ , por lo que su suma parcial para los primeros $n$ términos será $\sum\limits_{i = 1 }^{n}a S_n$.
Si la suma parcial, $S_n$, converge, se espera que la serie infinita, $S$, también converja. De hecho, $\lim{n \rightarrow \infty} S_n$ representará la suma de la serie infinita.
Si la suma parcial, $S_n$, diverge, entonces se espera que la serie infinita, $S$, también diverja. De hecho, no nos será posible predecir la suma de la serie cuando las subsumas divergen.
¿Por qué no seguimos adelante y observamos las siguientes series geométricas y vemos qué sucede con sus sumas parciales y sumas de series infinitas?
Comenzando con la serie, $\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{81} + …$, podemos ver que la relación habitual es $\dfrac{1} {3}$ y los siguientes términos se vuelven más pequeños y se acercan a $0$.
La suma parcial de la serie de $n$ términos será igual a $\dfrac{a(1 – r^n)}{1 – r}$, donde $a = \dfrac{1}{3}$ y $ r = \dfrac{1}{3}$.
\begin{alineado}S_n &= \dfrac{a(1 – r^n)}{1 – r}\\&= \dfrac{\dfrac{1}{3}\left(1 – \dfrac{1} {3}^n\right)}{1 – \dfrac{1}{3}}\\&=\dfrac{1}{2}\left( 1- \dfrac{1}{3}^n\right )\end{alineado}
Echemos un vistazo al límite de $S_n$ cuando $n$ se acerca al infinito.
\begin{alineado}\lim_{x \rightarrow \infty} S_n &= \lim_{n \rightarrow \infty}\dfrac{1}{2}\left( 1- \dfrac{1}{3}^n\ høyre )\\&= \dfrac{1}{2}- \dfrac{1}{2}\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{3}^n\\&= \dfrac{1 {2} – 0\\&= \dfrac{1}{2}\end{alineado}
Dado que la serie converge a $\dfrac{1}{2}$, la suma de la serie es igual a $\dfrac{1}{2}$.
¿Qué sucede cuando la razón común es mayor que $1$? Veamos cómo se comporta la serie $2 + 4 + 8 + 16 + …$ para responder a esa pregunta.
Esta vez tenemos $r = 2$ y $a = 2$.
\begin{alineado}S_n &= \dfrac{a(1 – r^n)}{1 – r}\\&= \dfrac{2\left(1 – 2^n\right)}{1 – 2} \\&=-2\left( 1- 2^n\right )\end{alineado}
Conceptualmente, esperamos que la serie diverja, y eso es porque cuando sumamos más términos, la suma parcial también aumenta drásticamente. Podemos verificar esta conjetura tomando el límite de $S_n$ a medida que se acerca al infinito.
\begin{alineado}\lim_{n \rightarrow \infty} S_n &= \lim_{n \rightarrow \infty}2\left( 1- 2^n\right )\\&= 2- 2\lim_{n \ høyrepil \infty} 2^n\\&= 2 – \infty\\&= \infty\end{alineado}
Como $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \infty$, la serie infinita diverge y no tendrá un valor fijo.
¿Has notado cómo a medida que aumentan los términos a lo largo de la serie infinita, la serie diverge? Es una observación útil y algo que debemos tener en cuenta cada vez.
Una condición importante para que la serie infinita, $\sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_n$, sea convergente, $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n$ debe ser igual a $0$. Esto significa que los términos deben hacerse más pequeños a medida que evolucionan para que la serie infinita sea convergente.
Ejemplo 1
Escribe una expresión para el término $n$ésimo en la serie infinita, $6 + 0.6 + 0.006 + …$ y responde las preguntas que siguen.
en.¿Cuáles son los próximos tres enlaces en la serie?
b.¿Cuál es la suma parcial de los primeros seis términos?
C.Encuentra el valor de $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$, donde $S_n$ representa la subsuma del $n$ésimo término de la serie.
d.Usando el resultado de 1c, ¿cuál es la suma de la serie infinita?
Solución
Echemos un vistazo a los primeros tres términos de $6 + 0.6 + 0.006 + …$.
Podemos ver que a medida que avanza la serie, los términos se hacen más pequeños.
Para encontrar los próximos tres términos, podemos mover un lugar decimal más a la izquierda cada vez.
uno. Por lo tanto, los próximos tres términos de la serie infinita son $0.0006$, $0.00006$ y $0.000006$.
Ahora que tenemos los seis términos, podemos simplemente sumarlos para encontrar la suma parcial de los primeros seis términos de la serie.
\begin{alineado}S_6 &= 6 + 0,6 + 0,06 + 0,006+ 0,0006+ 0,00006 + 0,000006\\ &= 6,666666\end{alineado}
b) La suma parcial de los primeros seis términos es $6.666666$.
Cuando movemos un decimal a la izquierda, simplemente dividimos el término anterior por $10$ para encontrar el siguiente término. Podemos confirmar esto mirando la forma fraccionaria de los primeros seis términos.
\begin{alineado}6\\0.6 &= \dfrac{6}{10}\\0.006 &= \dfrac{6}{100}\\0.0006 &= \dfrac{6}{1000}\\0.00006 &= \dfrac{6}{10000} \\0.000006 &= \dfrac{6}{100000}\\.\\.\\.\\a_n &= 6 \left(\dfrac{1}{10}^{n – 1}\right)\end{alineado}
Esto muestra que la serie es en realidad una serie geométrica infinita, por lo que podemos expresar la suma de los $n$ésimos términos como $\dfrac{a(1 – r^n)}{1 – r}$, donde $a = 6$ y $r = \dfrac{1}{10}$.
\begin{alineado}S_n &= \dfrac{a(1 – r^n)}{1 – r}\\&= \dfrac{6\left(1 – \dfrac{1}{10}^n \right )}{1 – \dfrac{1}{10}}\\&= \dfrac{6\left(1 – \dfrac{1}{10}^n \right )}{\dfrac{9}{10} }\\&= \dfrac{20}{3}\left(1 – \dfrac{1}{10}^n \right )\end{alineado}
Ahora que tenemos la expresión para $S_n$, podemos realizar $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$.
\begin{alineado}\lim_{n \rightarrow \infty} S_n&= \lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{20}{3}\left(1 – \dfrac{1}{10}^n \right )\\&= \dfrac{20}{3} – \dfrac{20}{3}\lim_{n \rightarrow \infty} \dfrac{1}{10}^n\\&=\dfrac{20} {3} – 0\\&=\dfrac{20}{3}\end{alineado}
c. Por lo tanto $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n = \dfrac{20}{3}$.
Podemos ver que el límite de la suma parcial cuando se acerca al infinito es $\dfrac{20}{3}$. Además, los conceptos se hacen más pequeños a medida que avanza la serie infinita.
d) Toda esta información nos llevará al hecho de que la serie es efectivamente convergente.
Ejemplo 2
Escribe una expresión para el término $n$ésimo en la serie infinita, $\dfrac{1}{2}+ \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12}+ …$ y responde las preguntas que seguir
en.¿Cuáles son los próximos tres enlaces en la serie?
b.¿Cuál es la suma parcial de los primeros seis términos?
C.Encuentra el valor de $\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$, donde $S_n$ representa la subsuma del $n$ésimo término de la serie.
d.Usando el resultado de 1c, ¿cuál es la suma de la serie infinita?
Solución
Primero observemos la serie usando los tres términos dados.
\begin{alineado}\dfrac{1}{6} &= \dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{3}\\&= \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{ 1}{2 + 1} \\ \dfrac{1}{12} &= \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{1}{4}\\&= \dfrac{1}{3} \ cdot \dfrac{1}{3 + 1}\end{alineado}
Usando la observación que tenemos, para encontrar el cuarto término, multiplicamos $\dfrac{1}{4}$ y $\dfrac{1}{5}$. Usamos un proceso similar para los términos restantes que necesitamos.
uno. Por lo tanto, tenemos las siguientes condiciones:
\begin{alineado}a_4 &= \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{4 + 1} \\&= \dfrac{1}{20}\\a_5&= \dfrac{1}{ 5} \cdot \dfrac{1}{6}\\&= \dfrac{1}{30}\\a_6&= \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{7}\\&= \dfrac{1}{42}\end{alineado}
b. Si suma los seis términos, obtenemos una suma parcial de $\dfrac{6}{7}$ como se muestra a continuación.
\begin{alineado}S_6 &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + \dfrac{1}{ 30} + \dfrac{1}{42}\\&= \dfrac{6}{7}\end{alineado}
¿Notas algo sobre la suma de los seis términos? Es simplemente equivalente a $1 – \dfrac{1}{7}$. Comprueba la suma de los primeros siete términos: obtienes $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$.
¿Por qué no verificamos esto para que podamos encontrar $S_n$ en términos de $n$?
Tenga en cuenta que $\dfrac{1}{2} = 1- \dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{2} – \dfrac{1} {3 }$, $\dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4}$, y así sucesivamente?
Esto significa que podemos reescribir $S_n$ de esta manera y ver qué sucede.
\begin{alineado}S_n &= \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} + \dfrac{1}{20} + …\\&= \ dfrac{1}{1 \times 2} + \dfrac{1}{2 \times 3} + \dfrac{1}{3 \times 4} + \dfrac{1}{4 \times 5} + … + \ dfrac{1}{n(n + 1)}\\&=\left(1 – \dfrac{1}{2} \right ) + \left(\dfrac{1}{2} – \dfrac{1} {3} \right ) + \left(\dfrac{1}{3} – \dfrac{1}{4} \right ) + \left(\dfrac{1}{4} – \dfrac{1}{5 } \right )+ … + \left( \dfrac{1}{n} – \dfrac{1}{n + 1}\right )\\&= 1 \avbryt{- \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2}} \cancel{- \dfrac{1}{3}+ \dfrac{1}{3}} \cancel{- \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{ 4}} … \cancel{-\dfrac{1}{n} +\dfrac{1}{n}} – \dfrac{1}{n + 1}\end{alineado}
Esto significa que $S_n$ es simplemente igual a $1 – \dfrac{1}{n + 1} = \dfrac{n}{n + 1}$.
Ahora que tenemos la expresión para $S_n$ en términos de $n$, podemos encontrar el límite cuando $n$ tiende a infinito.
\begin{alineado}\lim_{x \rightarrow \infty} S_n &= \lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{n}{n + 1} \\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1 {1 + \dfrac{1}{n}} \\&= \dfrac{1}{1 + 0} \\&= 1\end{alineado}
c.Esto muestra que $\lim_{x \rightarrow \infty} S_n = 1$.
Este resultado tiene sentido ya que la diferencia entre el numerador y el denominador para todas las n-ésimas subsumas siempre será $1$, por lo que la suma debe estar cerca de $1$. También podemos ver que el siguiente término es significativamente más pequeño que el anterior.
d) A partir de estas observaciones podemos concluir que la serie es efectivamente convergente.
FAQs
¿Qué es la suma parcial en series infinitas? ›
Una suma parcial de una serie infinita es la suma de un número finito de términos consecutivos que comienzan con el primer término .
¿Qué es una serie infinita Cuáles son sus características? ›Una serie infinita, por lo tanto, es una seguidilla de unidades que no tiene final. El concepto opuesto es el de serie finita, que se caracteriza por finalizar en un determinado momento. Una serie infinita es una sucesión de elementos que carece de final.
¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica infinita? ›La suma de una serie Sn se calcula con la fórmula Sn=a(1−rn)1−r S n = a ( 1 - r n ) 1 - r . Para la suma de una serie geométrica infinita S∞ , a medida que n se acerca a ∞ , 1−rn 1 - r n se acerca a 1 .
¿Cuáles son las sumas parciales? ›La suma parcial de una sucesión nos da la suma de los primeros n términos de la sucesión. Si conocemos la fórmula para las sumas parciales de una sucesión, podemos obtener el valor de cualquier término de la sucesión.
¿Qué son sucesiones infinitas ejemplos? ›Un ejemplo de sucesión infinita sería la sucesión de números positivos pares: 2, 4, 6, 8… En ocasiones se identifica a las sucesiones finitas con palabras sobre un conjunto. Puede considerarse también el caso de una sucesión vacía (sin elementos), pero este caso puede excluirse dependiendo del contexto.
¿Cómo se calcula la suma de la serie? ›Si queremos calcular la suma de los términos de la serie geométrica finita a1, a2, a3,..., an-1, an, escribimos la suma Sn de los n términos y después multiplicamos por la razón.
¿Cuáles son las propiedades de una serie? ›Propiedades de la serie. a n es la suma indicada de todos los valores de a n cuando n se establece en cada número entero desde a hasta b inclusive ; es decir, la suma indicada de los valores a a + AA + 1 + AA + 2 + ...
¿Cómo saber si una serie es finita o infinita? ›Cuando el número de términos es limitado, se dice que la sucesión o serie es finita. Cuando el número de términos es ilimitado, la sucesión o serie se dice que es infinita. El término general o término enésimo es una expresión que indica la ley de formación de los términos. Por ejemplo, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...
¿Por qué son importantes las sumas infinitas? ›Las series infinitas son útiles para encontrar soluciones aproximadas a problemas difíciles y para ilustrar puntos sutiles de rigor matemático .
¿Qué es infinita en cálculo? ›Qué significa infinito en Matemáticas
El infinito es un valor mayor que cualquier cantidad asignable. El símbolo de infinito es: ∞. Nota: Infinito no es un número, las operaciones que realizamos con ∞ son simplemente un recurso para ayudarnos a resolver límites.
¿Qué es la suma de una serie? ›
Una situación cotidiana en la que encontramos el concepto de serie, aunque sea de manera oculta, se da al representar a los números reales en notación decimal. es decir a este número lo podemos expresar como una suma finita de números reales. Así pues, este número se expresa como una suma infinita de números reales.
¿Cuál es la suma de la serie geométrica infinita 18 12 8 16 3? ›o a1−rn1−r cuando r<1 . Por lo tanto, la suma de la serie geométrica infinita {18,12,8,..} es 54 .
¿Cuántas sucesiones existen? ›Existen dos tipos de sucesiones: la sucesión intestada y la sucesión testamentada.
¿Cuál es la enésima suma parcial de una serie? ›La suma parcial 𝑛-ésima es la suma de los primeros 𝑛 términos. Entonces, es 𝑎 uno más 𝑎 dos más 𝑎 tres más 𝑎 cuatro… hasta 𝑎 sub 𝑛, donde 𝑎 sub 𝑛 es dos por un medio a la 𝑛 menos uno. Y esto significa que 𝑎 sub uno se halla reemplazando 𝑛 por uno.
¿Qué son las multiplicaciones parciales? ›El resultado de la multiplicación del multiplicando por un digito del multiplicador se denomina producto parcial. El signo del producto depende de los signos del multiplicando y del multiplicador.
¿Cuál es el límite de la serie infinita? ›A veces es fácil olvidar que existe una diferencia entre el límite de una serie infinita y la suma de una serie infinita. El límite de una serie es el valor al que se acercan los términos de la serie cuando n → ∞ n\to\infty n→∞ . La suma de una serie es el valor de todos los términos de la serie sumados.
¿Cuál es la suma hasta el infinito de 1 2 1 4 1 8 1 16? ›La suma de infinitas series GP 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 ... es 1 .
¿En qué se diferencia encontrar la suma de una serie geométrica infinita de encontrar la suma parcial? ›Una serie infinita suma todos los términos de una secuencia infinitamente larga. Sumar sólo una parte es una suma parcial . Una serie aritmética tiene una diferencia constante entre números sucesivos, mientras que es la razón de números sucesivos la que es constante para una serie geométrica.