Ubestemt form - Betydning | Ubestemte former for grenser (2023)

En ubestemt form er av formen 0/0, 0·∞, ∞/∞ osv. Disse formene forekommer mest når vi evaluerer grenser ved å erstatte det gitte tallet i det gitte uttrykket. For eksempel for å evaluere grensen lim_{x →2}(x²- 4) / (x - 2), erstatter vi vanligvis x = 2 i det gitte uttrykket og det gir (2²- 4) / (2 - 2) = 0/0, og verdien av 0/0 kan ikke bestemmes lenger. Slike former er kjent som ubestemte former.

La oss lære mer om ubestemte former og hvordan man løser grenser med ubestemte former.

Hva er ubestemte former?

Deubestemte formerer former hvis verdi ikke kan bestemmes. I ferd med å vurdere noengrenser, kan ikke substitusjonen av den gitte verdien til variabelen i det gitte uttrykket gi nok informasjon om grensene. I stedet, hvis det produserer formene som 0/0, ∞ - ∞, ∞/∞, osv., er slike former kjent som ubestemte former. Det er 7 ubestemte former:

1. 0/0
2. 0⁰
3. ∞/∞
4. 0 × ∞
5. ∞ - ∞
6. 1^∞
7. ∞⁰

Disse ubestemte formene er en kombinasjon av maksimalt to av 0, 1, ∞. Verdien av hver av disse formene er ikke bestemt fordi de fører til motsetninger når vi prøver å bestemme verdiene deres. La oss bare dem sammen med årsakene til at de kalles ubestemte former.

Ubestemt form0/0

La oss begynne å dele 0 med 0 og vi kan finne flere svar. dvs.,

• 0 × 1 = 0 ⇒ 0/0 = 1
• 0 × 2 = 0 ⇒ 0/0 = 2
• 0 × 3 = 0 ⇒ 0/0 = 3
  og så videre

Det betyr, 0/0 = 1 = 2 = 3 = .... Det betyr 1 = 2 = 3 = ... som er absolutt en selvmotsigelse. Det betyr at verdien av 0/0 ikke kan bestemmes, og derfor er det en ubestemt form. Vi kan forstå dette fra figuren nedenfor.

Ubestemt form 0^0

Vi kan beregne 0⁰på to måter.

• Vi vet at a⁰= 1 for enhver 'a'. Bruker denne 0⁰= 1.
• Vi vet at 0²= 0 × 0 = 0; 0³= 0 × 0 × 0 = 0, osv. Fra dette, 0⁰= 0

Fra argumentene ovenfor 0⁰= 1 = 0. Dette fører til 1 = 0, som er en selvmotsigelse. Derfor 0⁰er en ubestemt verdi.

Ubestemt form∞/∞

Vi har allerede bevist at 0/0 er en ubestemt form. Dessuten vet vi at 1/∞ = 0. Vi kan skrive 0/0 som

0/0 = (1/∞) / (1/∞)
= 1/∞ × ∞/1
= ∞/∞

Det betyr at ∞/∞ er en ekvivalent form av 0/0 og er derfor en ubestemt form.

Ubestemt form0 × ∞

Vi vil igjen bruke samme 0/0-skjema for å bevise dette. Vi vet allerede at 1/0 = ∞. Nå,

0/0 = 0 × 1/0 = 0 × ∞

Siden 0/0 er en ubestemt form, er 0 × ∞ også en ubestemt form.

Ubestemt form∞ - ∞

∞ representerer et veldig veldig stort tall. Men ∞ - ∞ betyr ikke at det er "tallet minus det samme tallet" fordi ∞ ikke representerer noe fast tall. Så vi kan ikke si at ∞ - ∞ = 0, men verdien kan ikke bestemmes. Dermed er ∞ - ∞ en ubestemt form.

Ubestemt form 1^∞

Å multiplisere 1 med seg selv et uendelig antall ganger fører til 1. Men likevel er 1 hevet til ∞ en ubestemt form. For dette trenger vi litt mer analyse.

• Hvis vi tar et tall altsåmindre ennog veldig nær 1, og deretter multiplisere det med seg selv et uendelig antall ganger, gir et veldig veldig lite tall og er omtrent lik 0.
• Hvis vi tar et tall altsåstørre ennog veldig nær 1, og multipliserer det med seg selv et uendelig antall ganger, gir et veldig veldig større tall og er omtrent lik ∞.

Det betyr, grensen lim_{x →}₁ x^∞eksisterer ikke fordi dens venstre grense er 0 og høyre grense er ∞. Derfor, hvis vi får 1^∞etter substitusjonen inn i grensen betyr det at vi har fått en ubestemt form.

Ubestemt form∞^0

Vi vet at a⁰brukerkvotientregel for eksponenterkan skrives som a/a. På samme måte, ∞⁰kan skrives som ∞/∞, som er en ubestemt form. Dermed ∞⁰er en ubestemt form.

Evaluering av ubestemte former for grenser

Selv om det er 7 ubestemte former, er de mest forekommende ubestemte formene 0/0 og ∞/∞. For å beregne grenser som fører til disse skjemaene,Sykehusets regeler mest nyttig. Men noen ganger kan andre metoder også brukes. La oss diskutere hver metode sammen med eksempler.

Factoring metode

Når vi får en ubestemt form mens vi evaluerer grenser ved direkte substitusjon, er den enkleste måten å se omfactoringtillater enhver kansellering av vilkår. Noen ganger kan den direkte substitusjonen etter kansellering av vanlige faktorer (fratellerognevner) ville forhindre å få ubestemte skjemaer. Her er et eksempel.

Eksempel:Som vi diskuterte i begynnelsen hvis vi erstatter x = 2 i grensegrensen_{x →2}(x²- 4) / (x - 2), vi får 0/0. Nå vil vi faktorisere telleren ved hjelp ava2 - b2 formel. Da får vi x²- 4 = x²- 2²= (x + 2)(x - 2). Deretter:

lim_{x →2}(x²- 4) / (x - 2) = lim_{x →2}[(x + 2)(x - 2)] / (x - 2)
= lim_{x →2}(x + 2)
= 2 + 2
= 4

Derfor kan vi vurdere grensen ved å faktorisere og kansellere de vanlige vilkårene.

Tar termen høyeste kraft som felles faktor

De fleste ganger, grensene som lim_{x → ∞}(2x²- 4x + 1) / (3x²- 8x + 3) vil ha en tendens til ∞/∞ ved direkte substitusjon x = ∞. I slike tilfeller kan vi ta termen med høyeste potens (som er x²i hver av telleren og nevneren i dette tilfellet) som fellesfaktor og forenkle det.

lim_{x → ∞}(2x²- 4x + 1) / (3x²- 8x + 3)
= lim_{x → ∞}[x²(2 - 4/x + 1/x²)] / [x²(3 - 8/x + 3/x²)]
= lim_{x → ∞}(2 - 4/x + 1/x²) / (3 - 8/x + 3/x²) (x²har blitt kansellert)
= (2 - 0 + 0) / (3 - 0 + 0)
= 2/3

Sykehusets regel

L'Hopitals regel er svært nyttig for å evaluere grensene med ubestemte former. Denne regelen sier å taderivatav teller og nevner hver for seg, og deretter bruke grensen når vi får en ubestemt form ved direkte substitusjon. Hvis vi får en ubestemt form etter den første anvendelsen av L'Hopitals regel, så kan regelen brukes på nytt. Her er et eksempel.

Eksempel:lim_{x →0}(sin x / x) = 0/0 ved direkte substitusjon av x = 0. Nå, etter L'Hopitals regel, er denne grensen den samme som

lim_{x →0}(cos x / 1) (somavledet av sin xer cos x; ogavledet av xer 1)
= (cos 0) / 1
= 1/1
= 1

Denne regelen kan også brukes i stedet for de to ovennevnte metodene (med "faktoreringsmetode" og "å ta termen med høyeste potens som felles faktor").

Tar inn i tilfeller av 1^∞, 0⁰, og ∞⁰

Når vi får en ubestemt form med eksponenter som 1^∞mens du vurderer en grense, anta den grensen som L og bruk den naturligelogaritme"ln" på begge sider. Men ikke glem å konverterelogge form til eksponentiell formpå slutten for å beregne L. Her er et eksempel:

Eksempel:Vurder grensegrensen_{x →0}(1 + x)^1/x.

Løsning:

La L = lim_{x →0}(1 + x)^1/x

Tar "ln" på begge sider,

ln L = lim_{x →0}(1/x) ln (1 + x)
= lim_{x →0}[ ln (1 + x) ] / x
= lim_{x →0}[1/(1+x)] / 1 (etter L'Hopitals regel)
= 1/(1+0)
= 1

Så vi fikk ln L = 1. Fra dette, L = e¹= e.

Ubestemt formtabell

Noen ganger vil en kombinasjon av metodene ovenfor også fungere for å evaluere grensene med ubestemte former. Tabellen nedenfor gir hver av de 7 ubestemte formene sammen med et eksempel. Hvert eksempel er også løst for deg i en alternativ metode.

Viktige merknader om ubestemt form:

• 1/0 er ikke en ubestemt form, snarere 1/0 = ∞.
• 0/1 er ikke en ubestemt form, verdien er 0/1 = 0.
• 1/∞ er ikke en ubestemt form, det er 1/∞ = 0.
• ∞/1 er ikke en ubestemt form, men ∞/1 = ∞.

☛Relaterte temaer:

• Grensekalkulator
• Kalkulatorkalkulator
• Derivativ kalkulator

Vanlige spørsmål på Indeterminate Form

Hva er meningen med ubestemt form?

Anubestemt former et matematisk uttrykk hvis verdi ikke kan bestemmes. Når vi prøver å bestemme dens verdi, fører det til en selvmotsigelse. Eksempler: 0/0, 0⁰, ∞/∞ osv. er ubestemte former. Hvis vi prøver å finne hva som er 0/0, så kan vi få uendelige verdier som 1, 2, 3, .... fordi 0 multiplisert med et hvilket som helst tall er 0 i seg selv og dette gir 0⁰= 1 = 2 = 3 = ... som er en selvmotsigelsetallkan ikke være like med hverandre.

Hva er 7 ubestemte former for grenser?

Det er 7 ubestemte former som er nevnt som følger:

• 0/0
• ∞/∞
• 0⁰
• 1^∞
• ∞⁰
• 0 × ∞
• ∞ - ∞

Hvordan fjerner jeg ubestemt skjema?

Vi kommer over ubestemte former mens vi evaluerer grenser ved å erstatte den gitte verdien. I slike tilfeller bruker vi en av følgende metoder:

• factoring(og kansellerer)
• ta det høyeste maktbegrepet somfellesfaktor
• anvende L'hopitals regel
• anta den gitte grensen som L og bruk "ln" på begge sider.

Noen ganger må vi også bruke en kombinasjon av disse metodene.

Hvordan beregne ubestemte former for grenser?

• For å beregne grenser med ubestemte former som 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞ og 0 × ∞, skriver du den gitte funksjonen som enbrøkdelog å bruke L'Hopitals regel ville være det bedre alternativet.
• For å evaluere grensene som fører til ubestemte former for eksponenter som 0⁰, 1^∞, og ∞⁰vi antar den gitte grensen som envariabel(si L) og bruk deretter "ln" på begge sider.

Er Infinity^Infinity en ubestemt form?

Nei, ∞^∞er IKKE en ubestemt form, det er en bestemt form, men verdien er ∞ (udefinert). På den annen side er ∞ - ∞ en ubestemt form.

Er ubestemt form det samme som udefinert?

Nei, ubestemt form og udefinerte verdier er forskjellige.

• De ubestemte verdiene er 0/0, ∞/∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰, 0 × ∞ og ∞ - ∞. Disse verdiene når de forsøkes funnet fører til motsetninger.
• Udefinerte verdier betyr at de ikke er definert. For eksempel er 1/0, -1/0, ∞ og -∞ udefinerte verdier. Disse verdiene kan ikke bli funnet.

Hva gjør du med ubestemte former for grenser?

Ubestemte former forekommer stort sett under evalueringgrenser. I slike tilfeller går vi for factoring (eller) L'hopitals regel. Ved ubestemte former foreksponenter, bruker vi den naturlige logaritmen "ln".