Vô cực lớn hơn bất kỳ số nào. Nhưng nói lớn hơn bao nhiêu thì không dễ. Trên thực tế, vô cực có vô số kích thước khác nhau – một sự thật được Georg Cantor phát hiện vào cuối những năm 1800.
Bây giờ một nhà toán học đã đưa ra một cách chứng minh mới, khác. Dựa trên một trò chơi đơn giản, bằng chứng sử dụng một chiến lược mà một ngày nào đó có thể làm sáng tỏ một trong những câu hỏi lớn chưa có lời giải trong toán học.
Vô cực nhỏ nhất là vô cực bạn sẽ đạt được nếu bạn có thể đếm mãi mãi. Các số 1, 2, 3, 4... được gọi làsố tự nhiên, và chúng là ví dụ rõ ràng nhất về độ lớn của vô cực này. Để tôn vinh họ, bất cứ thứ gì có độ lớn vô hạn này đều được gọi là "có thể đếm được".
Nhiều thứ vô hạn có thể đếm được. Ví dụ: giả sử bạn chỉ lấy các số chẵn. Chúng có thể được đếm, giống như tất cả các số tự nhiên. Bạn có thể chứng minh điều đó bằng cách đếm chúng:
Điều này dẫn đến một kết quả đặc biệt là bằng cách nào đó, số lượng các số chẵn bằng với số lượng các số tự nhiên - mặc dù số lượng chỉ bằng một nửa. Infinity là một con thú kỳ lạ.
Theo dõi tin khoa học
Nhận báo chí khoa học tuyệt vời, từ nguồn đáng tin cậy nhất, được gửi đến trước cửa nhà bạn.
Đặt mua
Cantor cũng nghĩ ra một cách thông minh để đếm tất cả các phân số, chứng tỏ rằng chúng cũng có thể đếm được. Vì vậy, có (sắp xếp) nhiều phân số như số nguyên! (Để biết lý do tại sao, hãy truy cậphttp://www.homeschoolmath.net/.)
Tuy nhiên, không phải mọi thứ vô hạn đều có thể đếm được. Lấy mọi người làm ví dụsố thực— tất cả các số đếm cộng với tất cả các phân số cộng với tất cả các số vô tỉ. Số thực là bất kỳ số nào có thể được biểu thị dưới dạng số thập phân, ngay cả khi biểu thức đó có thể tồn tại mãi mãi. Ví dụ, pi là một số thực: Nó có thể được viết là 3.14159….
Điều mà Cantor đã chỉ ra là bất kể bạn nghĩ ra kế hoạch đếm thông minh nào, bạn sẽ không bao giờ có thể đếm được mọi số thực cuối cùng. Anh ấy đã làm điều đó với một thách thức: Cứ thử đi. Hãy nghĩ ra một biểu đồ đếm, bất kỳ biểu đồ đếm nào, và anh ấy sẽ tìm thấy một con số thực mà bạn đã bỏ lỡ.
Ông lý luận theo cách này. Anh ấy sẽ viết tất cả các số của bạn vào một danh sách, chỉ bao gồm phần sau dấu thập phân. Nếu số đó là số hữu tỉ, anh ta sẽ viết nó với vô số số 0 ở cuối, hoặc các số sẽ bắt đầu lặp lại trong một vòng lặp vô hạn. Danh sách sẽ giống như thế này, mặc dù nó có thể không phải là những con số cụ thể sau:
.48859283404162…
.23190734486346 …
.23987932750000…
.34576128733518…
.23758093475639 …
vân vân.
Bây giờ Cantor sẽ tạo một số mới không có ở bất kỳ đâu trong danh sách của bạn. Để tìm chữ số đầu tiên, anh ấy sẽ nhìn vào chữ số đầu tiên của số đầu tiên, trong trường hợp này là số 4. Cantor sẽ làm cho chữ số đầu tiên của số mới khác đi, chẳng hạn như 5.
Bây giờ anh ấy sẽ nhìn vào chữ số thứ hai của số thứ hai, trong trường hợp này là 3. Anh ấy sẽ làm cho chữ số thứ hai của số mới khác đi, chẳng hạn như 4. Và anh ấy sẽ làm cho chữ số thứ ba của số mới khác với chữ số thứ ba đó của số thứ ba trong danh sách (là 9, vì vậy anh ấy có thể lấy số 0 của mình).
Bằng cách giữ cái này mãi mãi, anh ấy sẽ nhận được một số thực mới khác với mọi số khác trong danh sách của bạn. Rốt cuộc, nó không thể giống với số đầu tiên, bởi vì nó có một chữ số đầu tiên khác. Và nó không thể giống với số thứ hai, vì nó có chữ số thứ hai khác. Vì lý do tương tự, nó không thể giống với bất kỳ số nào trong danh sách. Vì vậy, anh ấy có bạn! Rốt cuộc, bạn đã không đếm mọi số thực cuối cùng.
Khám phá của Cantor đặt ra một câu hỏi mà đến tận ngày nay vẫn chưa có câu trả lời đầy đủ: Liệu có một kích thước "trung gian" của vô cực - lớn hơn các số tự nhiên nhưng nhỏ hơn các số thực không? Giả định rằng không có gì nằm giữa hai kích thước được gọi là "giả thuyết liên tục", sau chuỗi liên tục của các con số. Câu hỏi phức tạp đến mức nó đã dẫn đến một cuộc khủng hoảng thực sự trong toán học và các nhà toán học vẫn không chắc chắn về câu trả lời.
Khi các nhà toán học gặp khó khăn với một vấn đề như thế này, họ thường cần một cách tiếp cận mới. Sử dụng một phương pháp hoàn toàn khác với phương pháp của Cantor, Matthew H. Baker của Viện Công nghệ Georgia ở Atlanta gần đây đã đưa ra một bằng chứng mới rằng các số thực không thể đếm được. Baker bắt đầu bằng cách xem xét một trò chơi toán học nhỏ. Giả sử Alice và Bob quyết định chọn một tập con các số thực trong khoảng từ 0 đến 1. Alice bắt đầu bằng cách chọn bất kỳ số nào cô ấy thích trong khoảng từ 0 đến 1 và Bob theo sau bằng cách chọn một số lớn hơn của Alice nhưng vẫn nhỏ hơn 1. Sau đó, họ lần lượt chọn các số mới luôn nằm giữa hai số cuối cùng được chọn.
Nếu chúng ta gọi số của AliceTRONG1,TRONG2,TRONG3, v.v. và của Bobb1,b2,b3, v.v., chúng ta có thể vẽ một bức tranh trông giống như thế này:
Lưu ý rằng các lựa chọn của Alice và Bob ngày càng gần nhau hơn theo thời gian. Một định lý quan trọng của giải tích nói rằng nếu họ tiếp tục chọn các số theo cách này mãi mãi, các số của Alice sẽ ngày càng tiến gần đến chỉ một số duy nhất, số này sẽ lớn hơn tất cả các số.TRONGN's và ít hơn tất cảbN'S.
Vì vậy, điều đó đưa chúng ta đến điểm của trò chơi. Nhớ lại lúc đầu rằng Alice và Bob đã đồng ý về một phần của khoảng thời gian. Nếu số mà Alice hội tụ đến nằm trong tập hợp con đó, Alice sẽ thắng và nếu nó nằm ngoài, Bob sẽ thắng.
Baker đã tìm ra một chiến lược mà Bob có thể sử dụng để giành chiến thắng bất kỳ lúc nào có thể đếm được tập hợp con. Bob có thể tạo một danh sách tất cả các số trong tập hợp con:S1,S2,S3, v.v. Bob phải đảm bảo rằng các số của Alice không thể hội tụ thành bất kỳ số nào trong danh sách đó.
Đối với sự lựa chọn đầu tiên của mình, anh ấy xemS1. NếuS1 nhỏ hơnTRONG1, anh ta không cần phải lo lắng về việc các số của Alice sẽ hội tụ về nó, bởi vì anh ta biết rằng các số của Alice phải hội tụ đến một cái gì đó lớn hơn cả hai số đó. Vì vậy, anh ấy chỉ chọn bất kỳ số nào anh ấy cảm thấy được phép.
Nếu nhưS1 lớn hơnTRONG1, anh ta chỉ có thể chọnS1! Xét cho cùng, anh ấy cũng biết rằng các số của Alice chỉ có thể hội tụ về một số ít hơn tất cả các số của anh ấy. Bằng cách đưa ra từng lựa chọn của mình theo cách này, anh ta có thể đảm bảo rằng các số của Alice không thể hội tụ tại bất kỳ điểm nào trong tập hợp con.
Nhưng sau đó Baker nhận thấy một điều khác. Nếu tập hợp con mà Alice và Bob thỏa thuận ban đầu làgiúp đỡkhoảng thời gian từ 0 đến 1, rõ ràng là Bob không thể thắng. Nhưng nếu tập con đếm được, Bob có thể thắng. Vì vậy, điều đó có nghĩa là toàn bộ khoảng thời gian không thể được tính.
Baker nói rằng bằng chứng của ông không chỉ ra bất cứ điều gì mà Cantor không chứng minh, nhưng đó là một ví dụ hay về cách hai lĩnh vực toán học dường như không liên quan đến nhau—trong trường hợp này là lý thuyết trò chơi và lý thuyết tập hợp—thực ra có liên quan chặt chẽ với nhau. Các vấn đề khó khăn trong toán học thường được giải quyết bằng cách tập hợp các lĩnh vực toán học dường như chỉ có liên quan xa với nhau.
Thật vậy, các nhà lý thuyết tập hợp theo đuổi các cách tiếp cận lý thuyết trò chơi. Baker nói: “Mọi người coi trọng một số trò chơi này vì chúng có thể cung cấp cái nhìn sâu sắc không tầm thường về bản chất của các số thực. "Họ có thể làm sáng tỏ những thứ như giả thuyết liên tục."
Nếu bạn muốn bình luận về bài viết này, xin vui lòng xemphiên bản blog.